matematikk.net

En lettere oppgave denne gangen...

Et objekt beveger seg i en sirkel med radius [tex]r[/tex]. Bevegelsen har vinkelfarten [tex]\omega[/tex]. Finn sentripetalakselerasjonen til objektet.

Gitt

[tex]a=\frac{v^2}{r}[/tex]
der
[tex]v=\omega\cdot r[/tex]

[tex]a=\omega^2\cdot r[/tex]

Enkelt og greit, og selvfølgelig korrekt.

Kan jo og ta å løse den som en vektorfunksjon med tiden som variabel, ved hjelp av parameterframstillingen for en sirkel.

[tex]\vec r (t)=[r cos (\alpha), r sin (\alpha)] [/tex]

Hvor [tex]\alpha =\omega\cdot t[/tex]

[tex]\vec r (t)=[r cos (\omega\cdot t), r sin (\omega\cdot t)][/tex]

[tex]\vec r \prime \prime (t)=\vec a(t)=[-r\omega^2cos(\omega \cdot t),-r\omega^2 sin (\omega \cdot t)[/tex]

Faktoriserer [tex]-\omega^2[/tex] uten for, og vi ser at vi står igjen med:

[tex]\vec a(t)=-\omega^2\cdot \vec r(t)[/tex]

Absoluttverdien er jo positiv, og vi kan kutte ut tiden som variabel siden sentripitalakselerasjonen er konstant, som gir

[tex]\vec a=\omega^2\cdot \vec r[/tex]