Integralkalenderen

[Janhaa]

[tex]I_6=\int \frac{x^2-1}{x(x^2+1)sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}}\, \rm{d}x=\int \frac{x^2-1}{x(x^2+1)sqrt{(x+\frac{1}{x})^2-2}}\, \rm{d}x[/tex]
[tex]\sqrt{2}u=x+\frac{1}{x} \Rightarrow \sqrt{2}\frac{\rm{d}u}{\rm{d}x}=1-\frac{1}{x^2} = \frac{1}{x^2}(x^2-1) \Rightarrow \sqrt{2}x^2\frac{\rm{d}u}{\rm{d}x}=x^2-1[/tex]
[tex]\sqrt{2}ux=x^2+1[/tex]
[tex]I_6= \int \frac{\sqrt{2}x^2}{x(\sqrt{2}ux)\sqrt{2u^2-2}} \rm{d}u = \frac{\sqrt{2}}{2} \int \frac{1}{u\sqrt{u^2-1}} \rm{d}u[/tex]
[tex]u^2-1=t \Rightarrow \frac{\rm{d}t}{\rm{d}u}=2u[/tex]
[tex]I_6=\frac{\sqrt{2}}{4} \int \frac{1}{u^2\sqrt{t}} \rm{d}t=\frac{\sqrt{2}}{4} \int \frac{1}{(t+1)\sqrt{t}} \rm{d}t[/tex]
[tex]t=r^2 \Rightarrow 2r\frac{\rm{d}r}{\rm{d}t} = 1[/tex]
[tex]I_6=\frac{\sqrt{2}}{4} \int \frac{2r}{(r^2+1)r} \rm{d}r=\frac{\sqrt{2}}{2} \int \frac{1}{(r^2+1)} \rm{d}r=\frac{\sqrt{2}}{2}\arctan(r)+C[/tex]
[tex]r=\sqrt{t}=\sqrt{u^2-1}=\sqrt{\frac{1}{2}(x+\frac{1}{x})^2-1}=\sqrt{\frac{1}{2}(x^2+\frac{1}{x^2})}[/tex]
[tex]I_6=\frac{\sqrt{2}}{2}\arctan(\sqrt{\frac{1}{2}(x^2+\frac{1}{x^2})})+C[/tex]
Hvis noen sitter å venter med et integral, bare post det. Hvis ikke kan jeg prøve å spore opp et selv.

Pent som vanlig Jarle.
Ok, nytt integral:

[tex]I_7=\int \frac{(2-x)^{2n-1}}{(2+x)^{2n+1}}\,dx\,\,\,\,\,\,\text for n \geq 1[/tex]

[Charlatan]

Trenger n den restriksjonen, Janhaa? Jeg tror bare n [symbol:ikke_lik] 0 er det eneste som behøves.
[tex]I=\int \frac{(2-x)^{2n-1}}{(2+x)^{2n+1}} \rm{d}x[/tex]

[tex]u=2+x \Rightarrow \frac{\rm{d}u}{\rm{d}{x}}=1[/tex]

[tex]I=\int \frac{(4-u)^{2n-1}}{(u)^{2n+1}} \rm{d}u=\int \frac{(\frac{4}{u}-1)^{2n-1}}{u^2} \rm{d}u[/tex]

[tex]\frac{4}{u}-1=t \Rightarrow -\frac{4}{u^2}=\frac{\rm{d}t}{\rm{d}u}[/tex]

[tex]I=-\frac{1}{4} \int t^{2n-1} \rm{d}t = -\frac{t^{2n}}{8n} + C = -\frac{(\frac{2-x}{2+x})^{2n}}{8n} +C[/tex]

Nytt integral:

[tex]I=\int x^2 \ln(\frac{1-x}{1+x})\,dx[/tex]

-----------------------

Jarle, jeg skulle svare her, men klussa det til. Sorry
Janhaa, 07.12.08

[orjan_s]

Jarle det er vel ikke lov å åpne kalenderen før tida, eller hva?

[thebreiflabb]

Hva med å lage noen integraler som ikke trenger substituering :p

[espen180]

[tex]I_{ekstra}=\int_1^2 \frac{1}{x^2+2x}\rm{d}x[/tex]

[Stone]

[tex]I_{ekstra} \int_1^2 {dx\over {x^2 +2x}}={\int_1^2 {dx\over{x(x+2)}}[/tex] Delbrøkoppspalting, og får [tex]A = {1\over2} B=-{1\over2}[/tex]
[tex]{1\over 2}\int_1^2 {dx\over x} - {1\over 2}\int_1^2 {dx\over x+2} ={{1\over2}ln x - {1\over2}ln(x+2)}]_1^2[/tex]
[tex]= ln{{\sqrt 6}\over{2}}[/tex]

[Olorin]

[tex]I_7=\int\frac{\rm{d}x}{\cos(x)}[/tex]

For enkelte, keep off!

[Stone]

Fiffig!
[tex]\int{1\over cos x} dx = \int sec x dx = \int sec x * {({sec x + tan x\over sec x + tan x})}dx = \int{ {sec^2x + sec x tanx}\over{sec x + tan x}}dx[/tex]
Hvor vi plutselig har fått en fin substitusjon!
[tex]u=sec x + tan x, du=sec^2x + sec x tan x dx[/tex]
[tex]\int {1\over u}du = ln u = ln |{sec x +tan x}| + C[/tex]

[Stone]

En litt lur en..
[tex]I_8 = \int{dx\over (x^7-x)}[/tex]

[Janhaa]

Jarle det er vel ikke lov å åpne kalenderen før tida, eller hva?

Jeg tror vi driver og synder med åpningstida nå...

[Janhaa]

Trenger n den restriksjonen, Janhaa? Jeg tror bare n [symbol:ikke_lik] 0 er det eneste som behøves.
[tex]I=\int \frac{(2-x)^{2n-1}}{(2+x)^{2n+1}} \rm{d}x[/tex]
[tex]u=2+x \Rightarrow \frac{\rm{d}u}{\rm{d}{x}}=1[/tex]
[tex]I=\int \frac{(4-u)^{2n-1}}{(u)^{2n+1}} \rm{d}u=\int \frac{(\frac{4}{u}-1)^{2n-1}}{u^2} \rm{d}u[/tex]
[tex]\frac{4}{u}-1=t \Rightarrow -\frac{4}{u^2}=\frac{\rm{d}t}{\rm{d}u}[/tex]
[tex]I=-\frac{1}{4} \int t^{2n-1} \rm{d}t = -\frac{t^{2n}}{8n} + C = -\frac{(\frac{2-x}{2+x})^{2n}}{8n} +C[/tex]
Nytt integral:
[tex]I=\int x^2 \ln(\frac{1-x}{1+x})\,dx[/tex]
-----------------------
Jarle, jeg skulle svare her, men klussa det til. Sorry
Janhaa, 07.12.08

Smart løsning, jeg gjorde det på en mer tungvint måte.
Integralet ditt over har jeg ikke hatt særlig flaks med ennå.

[Janhaa]

En litt lur en..
[tex]I_8 = \int{dx\over (x^7-x)}[/tex]

Integralet her er greit;

[tex]I=\int\frac{dx}{x(x^6-1)}={1\over 3}\int \frac{du}{u(u^2-1)}[/tex]

der u = x[sup]3[/sup], videre brukes substitusjonen V = u[sup]2[/sup]

[tex]I={1\over 6}\int \frac{dV}{V(V-1)}={1\over 6}\int(\frac{1}{V-1}\,-\,\frac{1}{V})\,dV={1\over 6}(\ln|V-1|\,-\,\ln|V|)\,+\,C[/tex]

[tex]I={1\over 6}(\ln|u^2-1|\,-\,\ln(u^2))\,+\,C={1\over 6}\ln|x^6-1|\,-\,\ln|x|\,+\,C[/tex]

[orjan_s]

Siden vi synder alle mann:

[tex]I=\int x^2 \ln{(\frac{1-x}{1+x})}\, dx=\frac{1}{3} x^3\ln{(\frac{1-x}{1+x})}-\frac{2}{3}\int \frac {x^3}{x^2-1} \, dx[/tex]

setter [tex]u=x^2 \, \Rightarrow \,\frac{du}{dx}=2x[/tex] på det siste integralet.

[tex]\frac{1}{3}\int \frac {u}{u-1}\, du=\frac{1}{3}\int 1+\frac {1}{u-1}\, du=\frac{1}{3}(u+\ln{(u-1)})+C=\frac{1}{3}(x^2+\ln{(x^2-1)})+C[/tex]

som gir

[tex]I=\int x^2 \ln{(\frac{1-x}{1+x})}\, dx=\frac{1}{3} x^3\ln{(\frac{1-x}{1+x})}-\frac{1}{3}(x^2+\ln{(x^2-1)})+C[/tex]

[orjan_s]

[tex]I_7_2=\int \frac{\rm{d}x}{\sqrt{x}-\sqrt[3]{x}}[/tex]

[Vektormannen]

\sqrt[a]{x} gir [tex]\sqrt[a]{x}[/tex]