matematikk.net

Vis at [tex]\|\int_{|z|=3} \frac{dz}{z^2-i}\|[/tex] har en øvre grense på [tex]\frac{3\pi}{4}[/tex]

Jeg kan tenke meg at det ikke er mange her fra videregående som har vært borti kompleks analyse. Poenget med dette nøtteforumet er vel at oppgavene skal være tilgjengelig for alle på videregående trinn med litt interesse og erfaring.

Kanskje du skulle skrive litt om hvordan noe slikt i det hele tatt kan vises, for eksempel hvordan et integral med kompleks integrand i det hele tatt er definert, og noen regler + hint til hvordan de kan bevises. For når det gjelder kompleks analyse må man ha en del bakgrunnskunnskap for å kunne løse problemer innen det.

Det har vært laget fine innføringer her før innen grafteori og diverse problemløsningsteknikker, og det er et nødvendig grunnlag for å kunne løse mange oppgaver.

Hvis man antar at man kan integrere med hensyn på z som en annen reell variabel, får man integralet lik uttrykket [tex]| \frac{\ln(z^2-i)}{2\sqrt{i}} +C|[/tex] for en konstant C hvor [tex]|z|=3[/tex] (hvis jeg ikke har gjort feil) og jeg ser ingen grunn til at dette skal ha en øvre grense.
Jeg kan tenke meg at [tex]|z|=3[/tex] er en grensene på integralet, men hvordan det kan være definert vet ikke jeg.

1. Tenkte du og andre kunne få noe å tenke på
2. Hvis dette nøtteforumet er for vgs-elever så føler jeg at jeg ligger noen år etter gitt (noe jeg også gjør)

Skudd i mørket, men:

Hvis det er et krav at [tex]|z|=3[/tex], er det kanskje meningen at man skal finne en øvre grense for [tex]\left|\frac{\ln(z^2-i)}{2\sqrt{i}}+C\right|[/tex] der [tex]z=(3,\theta)\,,\,\theta\in[-\pi,\pi][/tex], som gir [tex]z=3\cos\,\theta+3i\cdot \sin\,\theta\,,\, \theta\in[-\pi,\pi][/tex], eller roter jeg nå?

Som du ser vil uttrykket mellom absoluttverdistrekene ha enhver reell verdi man skulle ønske, det er lett å se at maksimumsverdien kan overstige den spesifiserte øvre grensen. Det er klart at integralet har grenser gitt ved at [tex]|z|=3[/tex], men hvordan de er definerte bør kanskje være skrevet.

Men [tex]|z|=3[/tex] betyr jo at [tex]z=3\left(\cos\,\theta+i\sin\,\theta\right)[/tex]?

Hvis du har et komplekst tall z så ja, men hvis |z| = 3 er definert som grensene på et integral så vet jeg ikke.

Måten han skriver grensene på minner om et dobbelintegral på formen [tex]\iint_R f(x,y) \rm{d}A[/tex] som skal integreres over en region [tex]R[/tex]. Da virker det som om inegralet [tex]\int_{|z|=3} \frac{\rm{d}z}{z^2-1}[/tex] skal integreres over det geometriske stedet [tex]|z|=3 \Leftrightarrow z=3\left(\cos\,\theta+i\sin\,\theta\right)[/tex].

Her skal det integreres over en sirkel i det komplekse planet, og dette er vel i grunnen en oppgave som er tilgjengelig for interesserte vgs-studenter, bare man gir tilstrekkelig med hint (hvis wikipediaartikkelen ser skremmende ut, finnes det andre artikler på nett og.)

Ellers så syns jeg ikke det gjør noe at oppgavene på forumet varierer i vanskelighetsgrad. Det er jo fint om vi som ikke lenger er i vgs får litt å strekke oss etter også, vel? På den annen side er dette kanskje ikke like mye en "nøtt" som det er en "øvingsoppgave i bruk av velkjente teoremer"(?)

Kanskje mayhassen mener at man skal vise at

[tex]\left| \int_{|z|=3}\frac{dz}{z^2-i} \right| \leq \frac{3\pi}{4}[/tex]

?

Nå har jeg feber da og har så vidt skummet over inleggene, så beklager hvis alt er blitt nevnt allerede.

det var nok tanken ja =)

Vi kan bruke den kjente ML-ulikheten fra kompleks analyse:
[tex]\left |\oint_{|z|=3}\frac{1}{z^{2}-i}dz\right |\leq ML\,\![/tex]
hvor [tex] M \,\![/tex]er en øvre grense for absoluttverdien til integranden langs konturen og [tex] L \,\![/tex] er lengden på konturen. Siden vi integrerer over den lukkede sløyfen definert ved [tex]|z|=3\,\![/tex] er [tex]L=6\pi\,\![/tex]. Trekantulikheten ( for [tex]|z|=3\,\![/tex]) gir:
[tex]\frac{1}{|z^{2}-i|}\leq \frac{1}{|z^{2}|-|i|}=\frac{1}{9-1}=\frac{1}{8}=M\,\![/tex].

Dermed blir [tex]ML=\frac{6\pi}{8}=\frac{3\pi}{4}\,\![/tex].

Fint det.
Hvis man har lyst kan man vel regne ut integralet også.