matematikk.net

Fikk denne av en kamerat, så jeg vet ikke den nøyaktige formuleringen i bladet, men:

Sett et tall i hvert hjørne av en trekant, altså i A, B, og C, summen av sidene skal være et kvadrattall. Dvs A+B=kv.tall, B+C=kv.tall og A+C=kv.tall

La A,B og C være positive heltall og A[symbol:ikke_lik] B[symbol:ikke_lik] C

1. Finn A,B og C
2. Finnes det flere løsninger, finn ev alle. Hva kan man si om tallene A,B,C
(en oppfølger som ikke sto i bladet til de som syns 1. er for lett).

Om alle tallene kan velges fritt og det finnes minst én løsning burde det da finnes uendelig mange, burde det ikke? Mulig jeg overser noe åpenbart nå, men om A, B og C er en løsning burde jo 4A, 4B, 4C eller generelt [tex]k^2A, k^2B, k^2C[/tex] også være det i og med at [tex]k^2A+k^2B=k^2(A+B)=k^2n^2=(kn)^2[/tex]. Det å faktisk finne en løsning overlater jeg til noen som vet hva de driver med.

Det å finne en løsning er ikke så ille. Vi vil at
[tex]a + b = n_1^2 \\ b+c = n_2^2 \\ c + a = n_3^2[/tex]

Som gir
[tex]a = \frac 1 2 (n_1^2 - n_2^2 + n_3^2) \\ b = \frac 1 2 (n_1^2 + n_2^2 - n_3^2) \\ c = \frac 1 2 (-n_1^2 + n_2^2 + n_3^2)[/tex]

Enten er alle n'ene partall, eller så er ett av dem partall og to av dem oddetall. Videre er alle n'ene unike, siden vi ikke ønsker like løsninger for a, b og c.
Vi krever i tillegg at
[tex]n_1^2 < n_2^2 + n_3^2 \\ n_2^2 < n_1^2 + n_3^2 \\ n_3^2 < n_1^2 + n_2^2 [/tex]

Da er vi ikke langt unna å ha klassifisert alle mulige løsninger. En mulighet ser vi er [tex](n_1,n_2,n_3)=(5,6,7)[/tex], som gir løsningen (a,b,c) = (6,19,30)

Du kan penere indeksering enn det, dao!

Ja, det kan jeg! Det er ikke god matematikk så lenge indeksen er leselig.

Jeg skal passe på proporsjonene neste gang
[tex]\huge n _{\tiny 1}^2 +n _{\tiny 2}^2 = 42[/tex]

Det var mer at det hadde vært mer naturlig å starte med [tex]b+c=n_1^2[/tex].

Når vi snakker om indekser: Det meste jeg har sett i seriøs bruk er 3 som i [tex]x_\alpha_\beta_\gamma[/tex].

Huff... i hvilken sammenheng trenger man et slikt hårete dyr?

daofeishi skrev:Huff... i hvilken sammenheng trenger man et slikt hårete dyr?

Det lurer jeg også på. Jeg husker ikke sammenhengen. Foreleser beklaga seg litt og alle lo.