matematikk.net

La ABCD være en konveks firkant. På hver side av firkanten ligger det et kvadrat med lik sidelengde som siden den ligger på. Tegn linjene fra sentrumene til de motstående kvadratene. Vis at disse har lik lengde, og står normalt på hverandre.

Gjør ikke noe om firkanten ikke er konveks.

La de komplekse tallene [tex]z_1, z_2, z_3, z_4[/tex] være hjørnepunktene til firkanten i Argand-planet. Da ser vi at senterpunktene vi er ute etter er:

[tex]s_1 = z_1 + \frac 1 2 (1 + i)(z_2 - z_1) \\ s_2 = z_2 + \frac 1 2 (1+i)(z_3-z_2) \\ s_3 = z_3 + \frac 1 2 (1+i)(z_4-z_3) \\ s_4 = z_4 + \frac 1 2 (1+i)(z_1 - z_4)[/tex]

Linjene er da representert av:
[tex]D_1 = s_3 - s_1 = \frac 1 2 (1+i)(z_4 - z_3 - z_2 + z_1 + (z_3 - z_1)(1-i)) \\ D_2 = s_4 - s_2 = \frac 1 2 (1+i)(z_1 - z_4 - z_3 + z_2 + (z_4-z_2)(1-i))[/tex]

vi ser at [tex]\frac{D_2}{D_1} = \frac{z_4 - iz_3 -z_2 + iz_1}{z_1 - iz_4 - z_3 +iz_2} = i[/tex], så [tex]D_2 = iD_1[/tex], hvilket betyr at de har samme lengde og står vinkelrett på hverandre.

Jepp! og riktignok trenger ikke firkanten være konveks.