matematikk.net

Vis at [tex]f\left(g^{-1}(x)\right)=g\left(f^{-1}(x)\right) \Leftrightarrow f^{-1}\left(g(x)\right)=g^{-1}\left(f(x)\right)[/tex]

Anta at [tex]f[/tex] og [tex]g[/tex] er bijeksjoner på [tex]\mathbb{R}[/tex].


Hint:
Definisjonen av en invers funksjon:
[tex]f\left(f^{-1}(a)\right)=a\forall a[/tex]

Her bruker man at [tex]f(g(x))=g \circ f[/tex] som er en mer oversiktlig og enklere notasjon for sammensatte funksjoner. [tex]\circ[/tex] som definert over, kan man vise at er assosiativ.

[tex]f^{-1} \circ g = g^{-1} \circ f \Leftrightarrow g \circ f^{-1} \circ g = g \circ g^{-1} \circ f \\ \Leftrightarrow g \circ f^{-1} \circ g = f \Leftrightarrow g \circ f^{-1}=f \circ g^{-1}[/tex]

Oppfølgere:
Vis at [tex]\circ[/tex] er assosiativ.
Kommutativ?
Er [tex]\circ[/tex] distributiv over addisjon? (Forsiktig!)

Det finnes også en annen måte å gjøre det på, som involverer substitusjon.