Vi lar A, B og C være punktene som går i samme retning med samme hastighet og D være punktet som går i motsatt retning med samme hastighet. Ved t = 0 lar vi punktene ha koordinater A = (0,1), B = (-1,0), C = (0,-1) og D = (1,0).
Siden A, B og C går i samme retning med samme hastighet, vil de aldri forandre avstand fra hvarandre langs sirkelbuen. Det eneste som vil variere arealet her er punktet Ds posisjon. Vi kan forenkle problemstillingen ved å la A, B og C ligge i ro. Da vil D ha farten 2v i forhold til disse punktene når de ligger i ro.
Koordinatene til D er til en hver tid (cos(2vt), sin(2vt)). Etter en tid t, mens D er på høyre side av y-aksen, har vi følgende situasjon:
Vi ser at arealet nå består av to trekanter. Trekant ABC har grunnlinje 1 og høyde 2 og har dermed arealet 1. Trekant ADC har grunnlinje 2, og høyden ser vi som den stipla linja som står vinkelrett på grunnlinja. Denne høyden er som vi ser lik x-koordinaten, som er cos(2vt). Det samlede arealet er altså [tex]A(t) = 1 + \cos(2vt)[/tex].
Hvis vi nå kan vise at samme uttrykk gjelder også når D er til venstre for y-aksen, er vi i mål med å finne et uttrykk for A(t) (mener i alle fall jeg ...)
Når D er til venstre for y-aksen har vi følgende situasjon:
Arealet av "firkanten" (de to trekantene med areal a og c) er her a + c. Men dette kan skrives som (a + b) - (b + c). a+b er arealet av ABC som fortsatt er 1, og b+c er arealet av trekant ADC. Siden D nå er til venstre for y-aksen, er x-koordinaten negativ. Dermed kan vi erstatte hele -(b+c) med [tex]\cos(2vt)[/tex], her også. Arealet kan altså igjen skrives som [tex]A(t) = 1 + \cos(2vt)[/tex].
Og dette gir [tex]\frac{dA}{dt} = -\sin(2vt) \cdot 2v = -2v \cdot \sin(2vt)[/tex]
Edit: fiksa noen småfeil ..
