Integral

[Janhaa]

Er vel en stund sida vi kosa oss med ett integral. Vel - her er ett å surre litt med:

[tex]I=\int \ln(x^2+2x+10)\,{\rm dx}[/tex]

[Charlatan]

Jepp, det var etterlengtet.

[tex]I=\int \ln((x+1)^2+9) \rm{d}x[/tex]

[tex]u=x+1 \Rightarrow \\ I= \int \ln(u^2+9) \rm{d}x = u \ln(u^2+9)-\int \frac{u(2u)}{u^2+9} \rm{d}u \\ = u\ln(u^2+9)-2\int(1-\frac{9}{u^2+9} \rm{d}u =u\ln(u^2+9)-2u+2\int(\frac{9}{u^2+9} \rm{d}u[/tex]

[tex]I_2=\int \frac{9}{u^2+9} \rm{d}u[/tex]
[tex]3t=u \Rightarrow 3\frac{\rm{d}t}{\rm{d}u}=1[/tex]
[tex]I_2=\int \frac{9}{(3t)^2+9} \cdot 3 \frac{\rm{d}t}{\rm{d}u} \rm{d}u =3\int \frac{1}{t^2+1} \rm{d}t=3\arctan(t)+C_1=3\arctan(\frac{u}{3})+C_1[/tex]

[tex]I=u\ln(u^2+9)-2u+6\arctan(\frac{u}{3})+C_2=(x+1)\ln(x^2+2x+10)-2x+6\arctan(\frac{x+1}{3})+C[/tex]

Oppfølger som involverer integrasjon:

Anta at du kaster nåler med lengde [tex]L[/tex] på gulvpanelet. Skillene mellom hver "planke" på panelet har en avstand [tex]D[/tex] mellom seg. ([tex]L \leq D[/tex]) Anta at skillet selv ikke har noen utstrekning. Posisjonen til nålen som kastes, og hvilken retning spissen peker er tilfeldig.

Hva er forventningsverdien til antall nåler som vil treffe et skille når vi kaster [tex]n[/tex] nåler?

Hint1: Finn sannsynligheten for at nålen treffer et skille hvis den lander med vinkel V langs en x-akse du trekker normalt på skillene.

Hint2: Finn gjennomsnittet av sannsynlighetene for V fra 0 til 2 [symbol:pi].


Svaret gir en ganske artig konsekvens.

Hva hvis [tex]L > D[/tex] ?

[Janhaa]

Integralet var sjølsagt riktig. Nåja, oppgava di var ikke helt triviell.

Bruker hintet og lager meg en rettvinkla trekant hvor nåla lander med vinkel V iforhold til x-aksen. Den vertikale katet er y. Der L er hypotenusen i trekanten. Da fås.

[tex]\sin(V)=\frac{y}{L}\,\,<=>\,\,y=L\cdot \sin(V)[/tex]

Da y, og avstanden D mellom plankene er parallelle, setter jeg opp sannsynligheta (sh) for at nåla krysser planka.

[tex]p_1=\text \frac{gunstig}{mulig}=\frac{L\cdot \sin(V)}{D}[/tex]

skal vi sjå, da vil [tex]0<V<{\pi\over 2}[/tex]
og p(V) er sh for en vinkel V, men vi søker alle vinkler.

Dessuten vil nåla sveipe over et buelagt område i et rektangel med sider
D og [symbol:pi] /2. Så sh, p_2, vil være forholdet mellom arealene:

[tex]p_2=\frac{1}{\pi\over 2}\int_0^{\pi\over 2}\frac{L\cdot \sin(V)}{D}\,dV=\frac{2L}{\pi D}[-\cos(V)]_0^{\pi\over 2}=\frac{2L}{\pi D}[/tex]

---------------
og da er vel:

[tex]\bar E=(\frac{2L}{\pi D})\cdot n \cdot {1\over n}=\frac{2L}{\pi D}[/tex]

Hvis jeg forstod riktig da...

[Charlatan]

Jepp, det er helt riktig det, bare at antall forventede antall nåler som vil treffe er [tex]\frac{2L}{D\pi} \cdot n[/tex].

Det morsomme med dette svaret er at hvis man nå gjør prøver dette, og kaster n nåler, så vil - la oss si - k nåler treffe. Da vil [tex]\frac{2L}{D \pi} \cdot n \approx k[/tex]. Tilnærmingen vil bli skarpere jo flere nåler du kaster. Dette fører til at [tex]\pi \approx \frac{2Ln}{kD}[/tex]. Man kan altså approksimere pi ved å kaste nåler på gulvet!

Det er litt mer komplisert når [tex]L>D[/tex], men det skal la seg gjøre.

[Janhaa]

Jepp, det er helt riktig det, bare at antall forventede antall nåler som vil treffe er [tex]\frac{2L}{D\pi} \cdot n[/tex].

Etter en slitsom arbeidsdag blanda jeg gjennomsnitt sh (p) med gjennomsn. forventning (E).

Det morsomme med dette svaret er at hvis man nå gjør prøver dette, og kaster n nåler, så vil - la oss si - k nåler treffe. Da vil [tex]\frac{2L}{D \pi} \cdot n \approx k[/tex]. Tilnærmingen vil bli skarpere jo flere nåler du kaster. Dette fører til at [tex]\pi \approx \frac{2Ln}{kD}[/tex]. Man kan altså approksimere pi ved å kaste nåler på gulvet!

Stilig...d merkelige er at [symbol:pi] inntreffer i så mange merksnodige sammenhenger !

Det er litt mer komplisert når [tex]L>D[/tex], men det skal la seg gjøre.

kjenner jeg ikke er helt klar for den nå...,fornemmer en noe mer uggen formel. Trolig vil samme formel involveres, men med et ekstra uttrykk. Trigonometrisk, kan hende?