matematikk.net

La a, b og c være sidelengdene i en trekant. Vis at [tex]\frac a{b+c}+\frac b{c+a}+\frac c{a+b}<2[/tex].

Summen er mindre enn 3 i alle fall..

arildno skrev:Summen er mindre enn 3 i alle fall..

Hvis du bruker det som overbeviste deg om dette med litt sukker på, kommer du snart fram at det er mindre enn 2 også.

Ta en rettvinklet trekant, som er den trekanten der svarene potensiellt blir størst, ettersom det er den trekanten som arealmessig "utnytter" trekantens omkrets best.

I det tilfellet vil summen aldri kunne overstige 1,5.

Dette er veldig snartenkt, men jeg slenger opp et svar.

Hva nå med en likesida trekant, der er summen nøyaktig 3/2.

Tulla, blander uttrykk her, mente selvsagt en likesidet trekant.

I en rettvinkla, likebeint trekant vil summen være [tex]\frac{5\sqrt2-4}2>\frac32[/tex].

EDIT: Her er et nytt forslag til svar:
EDIT 2: Ser nå at jeg kan anta med en gang at b+c > a, noe som vil spare meg for litt arbeid:

Uten å la det gå utover generaliteten, anta at [tex]a \geq b \geq c[/tex]


vi får da:
1:
[tex]b+c > {a} \leftrightarrow 1 > \frac {a}{b+c}[/tex]

2:
[tex]a+c \geq b+c \leftrightarrow 1 \geq \frac{b+c}{a+c} = \frac {b}{a+c} + \frac {c}{a+c} \geq \frac {b}{a+c} + \frac {c}{a+b} [/tex]
(her benytter vi oss av at [tex] a+b \geq a+c \leftrightarrow \frac1{a+c} \geq \frac1{a+b} \leftrightarrow \frac c{a+c} \geq \frac c{a+b} [/tex]

dette innebærer at:
[tex]1+1 = 2 > \frac {a}{b+c} + \frac {b}{a+c} + \frac {c}{a+b}[/tex]

Det stemmer ikke at b/(a+b)>=b/(a+c) i punkt 2. Mulig det går an å redde seg inn, du får prøve. Husk også at vi skal ha en ekte ulikhet til slutt.

Pinlig feil .

Uansett så har jeg endret svaret mitt nå, så jeg tror det skal stemme

Trur det ser greit ut, får lese nøyere gjennom seinere. Det virker umiddelbart litt rart at det funker med den ganske grove ulikheta 3a>c.

Her er skisse til ei raskere løsning: Vi har at a+b>c, så 2(a+b)>a+b+c og c/(a+b)<2c/(a+b+c). Tilsvarende for de andre summandene. Vi summerer og ulikheta følger.