Trekant
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
La a, b og c være sidelengdene i en trekant. Vis at [tex]\frac a{b+c}+\frac b{c+a}+\frac c{a+b}<2[/tex].
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Hvis du bruker det som overbeviste deg om dette med litt sukker på, kommer du snart fram at det er mindre enn 2 også.arildno skrev:Summen er mindre enn 3 i alle fall..
Ta en rettvinklet trekant, som er den trekanten der svarene potensiellt blir størst, ettersom det er den trekanten som arealmessig "utnytter" trekantens omkrets best.
I det tilfellet vil summen aldri kunne overstige 1,5.
Dette er veldig snartenkt, men jeg slenger opp et svar.
I det tilfellet vil summen aldri kunne overstige 1,5.
Dette er veldig snartenkt, men jeg slenger opp et svar.
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Hva nå med en likesida trekant, der er summen nøyaktig 3/2.
Tulla, blander uttrykk her, mente selvsagt en likesidet trekant.
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
I en rettvinkla, likebeint trekant vil summen være [tex]\frac{5\sqrt2-4}2>\frac32[/tex].
EDIT: Her er et nytt forslag til svar: 
EDIT 2: Ser nå at jeg kan anta med en gang at b+c > a, noe som vil spare meg for litt arbeid:
Uten å la det gå utover generaliteten, anta at [tex]a \geq b \geq c[/tex]
vi får da:
1:
[tex]b+c > {a} \leftrightarrow 1 > \frac {a}{b+c}[/tex]
2:
[tex]a+c \geq b+c \leftrightarrow 1 \geq \frac{b+c}{a+c} = \frac {b}{a+c} + \frac {c}{a+c} \geq \frac {b}{a+c} + \frac {c}{a+b} [/tex]
(her benytter vi oss av at [tex] a+b \geq a+c \leftrightarrow \frac1{a+c} \geq \frac1{a+b} \leftrightarrow \frac c{a+c} \geq \frac c{a+b} [/tex]
dette innebærer at:
[tex]1+1 = 2 > \frac {a}{b+c} + \frac {b}{a+c} + \frac {c}{a+b}[/tex]
EDIT 2: Ser nå at jeg kan anta med en gang at b+c > a, noe som vil spare meg for litt arbeid:
Uten å la det gå utover generaliteten, anta at [tex]a \geq b \geq c[/tex]
vi får da:
1:
[tex]b+c > {a} \leftrightarrow 1 > \frac {a}{b+c}[/tex]
2:
[tex]a+c \geq b+c \leftrightarrow 1 \geq \frac{b+c}{a+c} = \frac {b}{a+c} + \frac {c}{a+c} \geq \frac {b}{a+c} + \frac {c}{a+b} [/tex]
(her benytter vi oss av at [tex] a+b \geq a+c \leftrightarrow \frac1{a+c} \geq \frac1{a+b} \leftrightarrow \frac c{a+c} \geq \frac c{a+b} [/tex]
dette innebærer at:
[tex]1+1 = 2 > \frac {a}{b+c} + \frac {b}{a+c} + \frac {c}{a+b}[/tex]
Sist redigert av Sonki den 21/10-2008 21:12, redigert 3 ganger totalt.
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Det stemmer ikke at b/(a+b)>=b/(a+c) i punkt 2. Mulig det går an å redde seg inn, du får prøve. Husk også at vi skal ha en ekte ulikhet til slutt.
.-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Trur det ser greit ut, får lese nøyere gjennom seinere. Det virker umiddelbart litt rart at det funker med den ganske grove ulikheta 3a>c.
Her er skisse til ei raskere løsning: Vi har at a+b>c, så 2(a+b)>a+b+c og c/(a+b)<2c/(a+b+c). Tilsvarende for de andre summandene. Vi summerer og ulikheta følger.
Her er skisse til ei raskere løsning: Vi har at a+b>c, så 2(a+b)>a+b+c og c/(a+b)<2c/(a+b+c). Tilsvarende for de andre summandene. Vi summerer og ulikheta følger.