matematikk.net

Vi har 2008 heltall som summerer til 0. Hvor mange par blant disse kan vi garantere har sum minst 0? Hva hvis talla hadde summert til 1? Enn -1?

Er ikke svaret null par?

Summen kan jo være [tex]a_1+a_2+a_3+...+a_{2006}+a_{2007}+a_{2008}=S[/tex]

der

[tex]a_{2008}=S-\sum_{i=1}^{2007}a_i[/tex]

Og alle andre ledd enn [tex]a_{2008}[/tex] er større enn null.

Da ville jo ingen par summere til null?


EDIT:
Ser nå at det står "minst null" og ikke "null". Da blir dette feil.

Ok. Si vi har summen [tex]\sum_{i=1}^{2008}a_i=a_1+a_2+a_3+...+a_{2006}+a_{2007}+a_{2008}=0[/tex]
og vi vil vite hvor mange par vi kan parantere har sum minst null, [tex]a_n+a_m\geq0[/tex]. Da leter vi vel strengt tatt etter det "verste tilfellet".

Etter det jeg kommer fram til er svaret 2007 par, når [tex]a_1[/tex] uttrykkes ved [tex]a_1=-\sum_{i=2}^{2008}a_i[/tex] og alle alle ledd bortsett fra [tex]a_1[/tex] er mindre enn null.

Altså, 2007 par. Stemmer det?

Svaret er riktig, men kan du bevise at vi ikke kan finne a_i så vi har høyst 2006 par?