Sin 18

[Zivert]

Vis (uten kalkulator) identiteten:
[tex]sin 18^o= \frac{\sqrt{5}-1}{4}[/tex]

[arildno]

Vis (uten kalkulator) identiteten:
[tex]sin 18^o= \frac{\sqrt{5}-1}{4}[/tex]

Tja, man må vel plundre gjennom å uttnytte at 5*18=90, da..
Foreksempel:
[tex]1=\sin(5y)=\sin(y)\cos(4y)+sin(4y)\cos(y)=\sin(y)\cos(y)\cos(3y)-\sin^{2}(y)\sin(3y)+\sin(y)\cos(3y)\cos(y)+\cos^{2}(y)\sin(3y)[/tex]
og så videre..

[Janhaa]

[tex]x=18^o\,\,og\,\,5x=90^o[/tex]
slik at
[tex]2x=90^o-3x\,\,\,(**)[/tex]

tar sinus på begge sider av (**)

[tex]\sin(2x)=\sin(90^o-3x)=\cos(3x)[/tex]

[tex]2\sin(x)\cos(x)=4\cos^3(x)-3\cos(x)[/tex]

deler på cos(x) og antar cos(x) [symbol:ikke_lik] 0

[tex]2\sin(x)=4\cos^2(x)-3=1-4sin^2(x)[/tex]

2. gradslik. mhp sin(x)

[tex]4\sin^2(x)+2\sin(x)-1=0[/tex]

[tex]\sin(x)=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{4}[/tex]

antar sin(x) > 0, dvs


[tex]\sin(18^o)=\frac{\sqrt{5}-1}{4}[/tex]

[Badeball]

Wow, pen løsning, Janhaa! Jeg gjorde det mye mer tungvindt med de Moivres formel, løse en 5. gradslikning (en snill en), og så slite for å finne kvadratroten av et uttrykk på formen a + b*sqrt(5).

[mrcreosote]

Ja, den var pen, Janhaa. Jeg løste også 5.gradsligninga. (Som egentlig er ei 2.gradsligning.)