matematikk.net

Fra Oxfords opptaksprøve i matematikk:

Astrid, Brutus og Truls er alle eksperter innen logikk. Kongen plasserer dem sammen i et rom og plasserer en hatt på hver av dem. Hver hatt er enten sort eller hvit. Ingen av de tre kan se sin egen hatt, kun de to andres hatter. Alle svarer sant på alle spørsmål, og de stoler på hverandre.

a) De får vite at alle ikke har samme farge på hatten sin. Kongen spør Astrid om hun vet fargen på hatten sin. Astrid svarer "Ja, den er hvit." Hvilke farger har de andres hatter? Begrunn svaret ditt.

b) Kongen bytter om på noen av hattene. Igjen får de vite at ikke alle har samme farge på hatten sin. Igjen spør kongen Astrid om hun kan si hvilken farge hun har på hatten sin. Astrid svarer "Nei." Etter Astrid har svart, spør kongen Truls om han kan vite fargen på hatten sin. Hva svarer Truls? Begrunn svaret ditt.

c) Kongen bytter om på noen av hattene igjen og sier "Minst én av dere har hvit hatt." Han spør alle samtidig om de vet fargen på hatten sin. Alle svarer "Nei." (I kor). Hva kan du si om fargen på hattene deres? Begrunn svaret ditt.

d) Kongen bytter om på noen av hattene igjen og sier "Minst én av dere har hvit hatt." Har spør alle samtidig om de vet fargen på hatten sin. Astrid svarer "Nei.", mens Truls og Brutus svarer "Ja." (Alle tre svarer samtidig). Hvilke farger har hattene deres? Begrunn svaret ditt.

a) Både Brutus' og Truls' hatter er svarte. Siden Astrid kunne vite hva hun var, må det være fordi hun så at både Bruts og Truls hadde svarte hatter.

b) Nei, Truls kan ikke vite det, han heller. Eller, for å være mer presis, det kommer an på fargen til Astrids hatt. Er Truls' hatt f.eks svart, betyr det at Brutus' hatt er hvit. Er også Astrids hatt hvit, kan Truls skjønne at han hans må være svart, men om Astrids hatt hadde vært svart, så kan ikke Truls vite noe.

c) Det fins to alternativer av hvordan hattene kan være. Enten er det to hvite og èn svart eller er alle tre hvite (forutsatt at betingelsen i a) og b) ikke gjelder). Alternativet om at det kun er èn hvit hatt, er ikke mulig, for da kunne den med den hvite hatten se de to andres svarte hatter og skjønne sin egen farge.

d) Hmm...

a) barnemat

b) Det kommer ann på fargen til de to andre deltakerens hatt. Ettersom Astrid svarte nei, betyr det at fargen til truls og han andre karen har forskjellige farger. Svart og hvit. Hvis Truls har en hatt som er samme farge som hatten til astrid, kan han ikke svare på spørsmålet eller forsåvidt han andre karen, så vil han ikke klare å svare på spørsmålet. Det som må til for at han skal svare på spørsmålet er at hatten til Astrid og han andre karen er samme farge. Hvis begge er hvitt er fargen til Truls hatt svart. Hvis begge er svart, er fargen til trulls hatt hvitt, ettersom alle ikke har samme farge på hatten sin.

c) Det som kan fastslås er at ingen av dem kan se de to andre med to hatter som har likt farge. For at en av dem skal forstå hvilke farge det er på hans/hennes hatt må de to andre være svarte, da vet han at den MINST ene hatten ligger på hodet hans... det betyr videre at en av dem hadde på seg svart hatt og to av dem hadde på seg hvitt hatt !

d) Kongen må ha lurt dem...
JEG klarer ikke

Er litt uenig i svaret ditt på b.
De får jo vite at ikke alle har samme farge på hatten, eller med andre ord:
det finnes 2 av enten sort eller hvit. Siden Astrid ikke kan vite hvilken hatt hun har, betyr det at hun ikke kan se de to hattene som har samme farge. Brutus og Truls må derfor ha to forskjellige hatter, altså er Truls farge den motsatte av Brutus(og han ser jo Brutus hatt).
Truls får vite sin egen farge når Astrid svarer.

Klaus Knegg skrev:Er litt uenig i svaret ditt på b.
De får jo vite at ikke alle har samme farge på hatten, eller med andre ord:
det finnes 2 av enten sort eller hvit. Siden Astrid ikke kan vite hvilken hatt hun har, betyr det at hun ikke kan se de to hattene som har samme farge. Brutus og Truls må derfor ha to forskjellige hatter, altså er Truls farge den motsatte av Brutus(og han ser jo Brutus hatt).

JA! Du har helt rett. Astrid vet ikke hvilken hatt hun har, det betyr at Truls og Brutus har forskjellige hatter. Siden han kan se Brutus, kan han vite hvilken farge det er på hatten hans ettersom det er motsatte av Brutus... helt riktig, litt for rask i svingen der Takk skal du ha.

Klarer du d'en, Klaus Knegg ?

edit: Kan noen PLIS løse d , jeg dør snart

Ser ikke helt for meg hvordan det scenarioet er mulig.
For at Truls skal kunne bestemme sin farge, betyr det at de to andre må være svarte og at hans egen er hvit, og samtidig sier Brutus at han også vet sin farge, altså må de to andre være svarte og hans egen hvit, men vi har jo allerede funnet ut at Truls må være hvit for at hans utsagn skal stemme, altså en selvmotsigelse

Klaus Knegg skrev:Ser ikke helt for meg hvordan det scenarioet er mulig.
For at Truls skal kunne bestemme sin farge, betyr det at de to andre må være svarte og at hans egen er hvit, og samtidig sier Brutus at han også vet sin farge, altså må de to andre være svarte og hans egen hvit, men vi har jo allerede funnet ut at Truls må være hvit for at hans utsagn skal stemme, altså en selvmotsigelse

JA! Kommer fram til samme jeg også, uansett hva jeg gjør og hvordan jeg vender på saken!

Det ser ut som de første er blitt knekt. Her er mine tanker om oppgave d:

Det virker ved første øyekast som en umulighet at både Truls og Brutus vet hvilken farge de har på hatten. Jeg eksperimenterte litt med hvordan ting blir hvis vi antar at de merker om hatten deres blir byttet eller ikke. Da kom jeg fram til følgende scenario:

Anta at det i oppgave c (etter to byttinger av hatter) var slik Truls og Brutus hadde hvite hatter og at Astrid hadde svart. Da vil både Truls og Brutus vite at de har hvite hatter når de får høre at de to andre svarer "nei", men Astrid vil ikke vite om hun har en svart eller en hvit hatt. Anta videre at Truls og Brutus merker at hatten deres ikke blir byttet, mens Astrid kjenner at hennes hatt blir byttet ut. Nå vil både Truls og Brutus vite at de har hvite hatter, mens Astrid ikke kan vite hvilken farge hun har på hatten. Siden hun hadde svart til å begynne med, har hun nå hvit, og svaret på d blir at alle tre har hvite hatter.

Litt eksperimentering viser at dette ikke kan skje hvis alle tre hadde hvite hatter på oppgave c, så derfor kan vi nå stryke muligheten for at alle i c hadde hvite hatter og fastslå at svaret på c er at Brutus og Truls hadde hvite hatter, og Astrid svart!

Tror jeg da, er nysgjerrig på fasiten!

BMB skrev:Det ser ut som de første er blitt knekt. Her er mine tanker om oppgave d:

Det virker ved første øyekast som en umulighet at både Truls og Brutus vet hvilken farge de har på hatten. Jeg eksperimenterte litt med hvordan ting blir hvis vi antar at de merker om hatten deres blir byttet eller ikke. Da kom jeg fram til følgende scenario:

Anta at det i oppgave c (etter to byttinger av hatter) var slik Truls og Brutus hadde hvite hatter og at Astrid hadde svart. Da vil både Truls og Brutus vite at de har hvite hatter når de får høre at de to andre svarer "nei", men Astrid vil ikke vite om hun har en svart eller en hvit hatt. Anta videre at Truls og Brutus merker at hatten deres ikke blir byttet, mens Astrid kjenner at hennes hatt blir byttet ut. Nå vil både Truls og Brutus vite at de har hvite hatter, mens Astrid ikke kan vite hvilken farge hun har på hatten. Siden hun hadde svart til å begynne med, har hun nå hvit, og svaret på d blir at alle tre har hvite hatter.

Litt eksperimentering viser at dette ikke kan skje hvis alle tre hadde hvite hatter på oppgave c, så derfor kan vi først nå stryke muligheten for at alle i c hadde hvite hatter og fastslå at svaret på c er at Brutus og Truls hadde hvite hatter, og Astrid svart!

Dæmn, det der var dyp tenking altså! Steike. Men jeg skal spille skeptikeren:

Bør ikke oppgavene være slik bygd at du ikke trenger å hoppe tilbake til c ? Dessuten, er det lov å "annta" ting her ?

Men, der finnes ingen andre logiske forklaringer, så det du sier må jo gjelde.. forresten, har noen fasit her? espen ?

OK, glem det der med å gå tilbake til c og stryke muligheten for at alle tre har hvite hatter. Oppgaven spurte jo bare om hva man kunne si om hattenes farger ved daværende tidspunkt.

Googla "Oxford hat mathematics" og fant opptaksprøva. Hvis dette er den samme oppgaven, har Espen skrevet av feil. Den egentlige oppgave d var at kongen spurte igjen om dem visste hvilke farger hattenes deres hadde, uten å bytte om på hattene igjen. Han spør altså igjen uten å bytte om på hatter.

I så fall blir svaret Astrid svart, Truls og Brutus hvit.

BMB skrev:Googla "Oxford hat mathematics" og fant opptaksprøva. Hvis dette er den samme oppgaven, har Espen skrevet av feil. Den egentlige oppgave d var at kongen spurte igjen om dem visste hvilke farger hattenes deres hadde, uten å bytte om på hattene igjen. Han spør altså igjen uten å bytte om på hatter.

I så fall blir svaret Astrid svart, Truls og Brutus hvit.

Oi sann!

Jeg må virkelig beklage! Klønete gjort av meg.

Ellers, bra jobba, folkens.

BMB skrev:Googla "Oxford hat mathematics" og fant opptaksprøva. Hvis dette er den samme oppgaven, har Espen skrevet av feil. Den egentlige oppgave d var at kongen spurte igjen om dem visste hvilke farger hattenes deres hadde, uten å bytte om på hattene igjen. Han spør altså igjen uten å bytte om på hatter.

I så fall blir svaret Astrid svart, Truls og Brutus hvit.

Hahahaha, nå ble det "litt" bedre

Jeg risikerte å sitte oppe hele kvelden, espen!! Hehehe
Tøyser, -sånt skjer.

Fantastisk at oppgave d. var løselig allikavel da!
Jeg ble skikkelig glad nå Takk til alle sammen og sps BMB! hehe, tenk om vi ikke hadde funnet ut av det