Fins det en funksjon [tex]f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}[/tex] slik at [tex]f^{-1}(y)[/tex] består av nøyaktig 3 punkter for alle reelle y?
(Notasjonen er kanskje ny for noen: [tex]f^{-1}(y)=\{x\in\mathbb{R}|f(x)=y\}[/tex]. Vi søker altså en funksjon som antar alle reelle verdier nøyaktig 3 ganger.)
Funksjonsjakt
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
1. Det kan du godt, men jeg syns du bør jakte på en kontinuerlig også. Glatt til og med!
2. Ja.
2. Ja.
Da må jeg skynde meg altså:
Tre diskontinuerlige slanger, med to diskontinuitetspunkter, f.eks for x=1 og x=-1.
Den midtre slangen kan eksempelvis være x/(1-x^2), mens kobraen til høyre kan være ln(x-1).
Kan finne ut en til venstre seinere om nødvendig
Tre diskontinuerlige slanger, med to diskontinuitetspunkter, f.eks for x=1 og x=-1.
Den midtre slangen kan eksempelvis være x/(1-x^2), mens kobraen til høyre kan være ln(x-1).
Kan finne ut en til venstre seinere om nødvendig
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Det holder vel det, og ln(-x-1) vil vel være en passende venstreslange. Se om du finner noen kontinuerlige også da!
Tror det blir vanskelig..
Dersom vi inndeler tall-linja i tre disjunkte soner, vil den "midterste" være kompakt, og kontinuitetskravet vil da forlange at den er begrenset her.
Derfor fungerer ikke en slik naiv strategi her, så derfor får jeg det ikke til siden kløkt og lempe er mangelvarer..
Dersom vi inndeler tall-linja i tre disjunkte soner, vil den "midterste" være kompakt, og kontinuitetskravet vil da forlange at den er begrenset her.
Derfor fungerer ikke en slik naiv strategi her, så derfor får jeg det ikke til siden kløkt og lempe er mangelvarer..
-
Bogfjellmo
- Cantor
- Innlegg: 142
- Registrert: 29/10-2007 22:02
Det er da ingen grunn til at funksjonen skal anta alle funksjoner én gang på intervallet [tex](-\infty, a\][/tex], én gang på [tex](a, b)[/tex] og én gang på [tex]\[b, \infty)[/tex] (eller lignende). I stedet for slanger tror jeg en sag er påkrevd. Hva om vi f.eks. setter
[tex]g(x) = \left\{\begin{array}{cr} 3x & ,\qquad 0 \leq x<\frac13 \\ -3x+2 & ,\qquad \frac 13 \leq x < \frac23 \\ 3x-2 &,\qquad \frac 23 \leq x <1\end{array}\right.[/tex]
og
[tex]f(x) = g(x-\lfloor x \rfloor) + \lfloor x \rfloor[/tex]
(Hvor [tex]\lfloor x \rfloor[/tex] er det største heltallet mindre enn eller lik [tex]x[/tex])
[tex]f(x)[/tex] vil da anta alle verdier av [tex]\mathbb{R}[/tex] tre ganger.
Neste utfordringer:
1) Finn en deriverbar funksjon som oppfyller kravene (lett)
2) Finn en uendelig deriverbar funksjon som oppfyller kravene (vanskeligere)
Jeg tror det er umulig med en analytisk funksjon.
[tex]g(x) = \left\{\begin{array}{cr} 3x & ,\qquad 0 \leq x<\frac13 \\ -3x+2 & ,\qquad \frac 13 \leq x < \frac23 \\ 3x-2 &,\qquad \frac 23 \leq x <1\end{array}\right.[/tex]
og
[tex]f(x) = g(x-\lfloor x \rfloor) + \lfloor x \rfloor[/tex]
(Hvor [tex]\lfloor x \rfloor[/tex] er det største heltallet mindre enn eller lik [tex]x[/tex])
[tex]f(x)[/tex] vil da anta alle verdier av [tex]\mathbb{R}[/tex] tre ganger.
Neste utfordringer:
1) Finn en deriverbar funksjon som oppfyller kravene (lett)
2) Finn en uendelig deriverbar funksjon som oppfyller kravene (vanskeligere)
Jeg tror det er umulig med en analytisk funksjon.
Gammel post, men jeg nominerer følgende funksjon:
La [tex]g(x) = x(x-3)^2[/tex]
Og la [tex]f(x) = g( x - 4 \lfloor \frac x 4 \rfloor) + 4 \lfloor \frac x 4 \rfloor[/tex]
Denne er fin, kontinuerlig og deriverbar (og analog til funksjonen over)
La [tex]g(x) = x(x-3)^2[/tex]
Og la [tex]f(x) = g( x - 4 \lfloor \frac x 4 \rfloor) + 4 \lfloor \frac x 4 \rfloor[/tex]
Denne er fin, kontinuerlig og deriverbar (og analog til funksjonen over)
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Ser fint ut alt dette. Funksjonen min var x+c*sin x for en passende c. Neste oppgave blir da å finne en passende c, eller i det minste ei ligning c må oppfylle.