Trekanten ABC er innskrevet i en sirkel. De innvendige halveringslinjene for vinklene A,B og C skjærer sirkelen i A', B' og C' respektivt.
Vis at arealet til A'B'C' er større eller lik arealet til ABC.
IMO Longlist 1988 Problem 4 - Geometri
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
La [tex]\angle (BAC)= 2\alpha[/tex], [tex]\angle (CBA)= 2\beta[/tex], [tex]\angle (ACB)= 2\gamma[/tex] da er [tex]\alpha+\beta+\gamma=90^o[/tex]
Av periferivinkler får vi at:[tex]\angle (B^{\prime} A^{\prime} C^{\prime}) = \beta+\gamma[/tex] osv.
Sinussetningen sier at:
[tex]\frac{\mid AB \mid}{sin 2\gamma}=\frac{\mid BC \mid}{sin 2\alpha}=\frac{\mid CA \mid}{sin 2\beta}=2R=\frac{\mid A^{\prime} B^{\prime} \mid}{sin (\alpha+\beta)}=\frac{\mid B^{\prime} C^{\prime} \mid}{sin (\beta+\gamma)}=\frac{\mid C^{\prime} A^{\prime} \mid}{sin (\gamma+\alpha)[/tex]
Det gir at:
[tex]\mid AB \mid=2Rsin 2\alpha[/tex] osv... og: [tex]\mid A^{\prime} B^{\prime} \mid= 2Rsin (\alpha+\beta)[/tex]osv...
La arealet i trekant[tex]ABC[/tex] være[tex]\Delta[/tex] og arealet i trekant [tex] A^{\prime} C^{\prime}B^{\prime}[/tex] være [tex]\Delta^{\prime}[/tex].
[tex]\Delta= \frac{1}{2}\mid AB \mid \mid AC \mid sin 2\alpha =2 R^2 sin2\alpha sin2\beta sin2\gamma =2R^2 \prod sin 2\alpha =2R^2 \prod 2sin \alpha cos \alpha= 2R^2 (\prod 2sin \alpha)(\prod cos \alpha) [/tex]
[tex]\Delta^{\prime}=\frac{1}{2}\mid A^{\prime}B^{\prime} \mid \mid A^{\prime}C^{\prime} \mid sin (\beta +\gamma) =2R^2 \prod sin ( \alpha +\beta)=2R^2 \prod sin (90^o - \gamma) =2R^2 \prod cos \gamma=2R^2 \prod cos \alpha[/tex]
Nå skal vi vise at:
[tex]\Delta^{\prime} \geq \Delta[/tex]
[tex]2R^2 \prod cos \alpha \geq 2R^2 (\prod 2sin \alpha)(\prod cos \alpha)[/tex]
[tex]\alpha, \beta, \gamma \in (0^o, 90^0) \Rightarrow cos \alpha, cos \beta, cos \gamma > 0[/tex]
Ulikheten vi skal vise er derfor ekvivialent med:
[tex]sin \alpha sin \beta sin \gamma \leq \frac{1}{8}[/tex]
Av AM-GM har vi:
[tex]sin \alpha sin \beta sin \gamma \leq (\frac {sin \alpha +sin \beta +sin \gamma}{3})^3[/tex]
Og siden [tex]sin x[/tex] er konkav i intervallet [tex][0^o,180^o][/tex], har vi av Jensen's ulikhet at:
[tex]\frac {sin \alpha +sin \beta +sin \gamma}{3} \leq sin(\frac{\alpha +\beta+\gamma}{3})=sin (\frac{90^o}{3})=\frac{1}{2}[/tex]
Derfor har vi:
[tex]sin \alpha sin \beta sin \gamma \leq (\frac {sin \alpha +sin \beta +sin \gamma}{3})^3 \leq (\frac {1}{2})^3= \frac {1}{8}[/tex]
Ulikheten er vist [tex]\spadesuit[/tex]
Av periferivinkler får vi at:[tex]\angle (B^{\prime} A^{\prime} C^{\prime}) = \beta+\gamma[/tex] osv.
Sinussetningen sier at:
[tex]\frac{\mid AB \mid}{sin 2\gamma}=\frac{\mid BC \mid}{sin 2\alpha}=\frac{\mid CA \mid}{sin 2\beta}=2R=\frac{\mid A^{\prime} B^{\prime} \mid}{sin (\alpha+\beta)}=\frac{\mid B^{\prime} C^{\prime} \mid}{sin (\beta+\gamma)}=\frac{\mid C^{\prime} A^{\prime} \mid}{sin (\gamma+\alpha)[/tex]
Det gir at:
[tex]\mid AB \mid=2Rsin 2\alpha[/tex] osv... og: [tex]\mid A^{\prime} B^{\prime} \mid= 2Rsin (\alpha+\beta)[/tex]osv...
La arealet i trekant[tex]ABC[/tex] være[tex]\Delta[/tex] og arealet i trekant [tex] A^{\prime} C^{\prime}B^{\prime}[/tex] være [tex]\Delta^{\prime}[/tex].
[tex]\Delta= \frac{1}{2}\mid AB \mid \mid AC \mid sin 2\alpha =2 R^2 sin2\alpha sin2\beta sin2\gamma =2R^2 \prod sin 2\alpha =2R^2 \prod 2sin \alpha cos \alpha= 2R^2 (\prod 2sin \alpha)(\prod cos \alpha) [/tex]
[tex]\Delta^{\prime}=\frac{1}{2}\mid A^{\prime}B^{\prime} \mid \mid A^{\prime}C^{\prime} \mid sin (\beta +\gamma) =2R^2 \prod sin ( \alpha +\beta)=2R^2 \prod sin (90^o - \gamma) =2R^2 \prod cos \gamma=2R^2 \prod cos \alpha[/tex]
Nå skal vi vise at:
[tex]\Delta^{\prime} \geq \Delta[/tex]
[tex]2R^2 \prod cos \alpha \geq 2R^2 (\prod 2sin \alpha)(\prod cos \alpha)[/tex]
[tex]\alpha, \beta, \gamma \in (0^o, 90^0) \Rightarrow cos \alpha, cos \beta, cos \gamma > 0[/tex]
Ulikheten vi skal vise er derfor ekvivialent med:
[tex]sin \alpha sin \beta sin \gamma \leq \frac{1}{8}[/tex]
Av AM-GM har vi:
[tex]sin \alpha sin \beta sin \gamma \leq (\frac {sin \alpha +sin \beta +sin \gamma}{3})^3[/tex]
Og siden [tex]sin x[/tex] er konkav i intervallet [tex][0^o,180^o][/tex], har vi av Jensen's ulikhet at:
[tex]\frac {sin \alpha +sin \beta +sin \gamma}{3} \leq sin(\frac{\alpha +\beta+\gamma}{3})=sin (\frac{90^o}{3})=\frac{1}{2}[/tex]
Derfor har vi:
[tex]sin \alpha sin \beta sin \gamma \leq (\frac {sin \alpha +sin \beta +sin \gamma}{3})^3 \leq (\frac {1}{2})^3= \frac {1}{8}[/tex]
Ulikheten er vist [tex]\spadesuit[/tex]
