Geometri

[Charlatan]

La ABC være en trekant hvor D halverer BC og P halverer AD. La BP skære AC i Q. Vis at [tex]\frac{AC}{AQ}=3[/tex]

[espen180]

Jeg tar denne med vektorregning. Det finnes kanskje flere måter å løse den på?

For å gjøre regningen mer oversiktlig kaller jeg [tex]\vec{AB}=\vec u[/tex] og [tex]\vec{BC}=\vec v[/tex]

[tex]\vec{AD}=\vec{u}+\frac12\vec{v} \\ \vec{BP}=-\frac12\vec{u}+\frac14\vec{v} \\ \vec{BQ}=k\cdot \vec{BP}=-\frac12 k \vec{u}+\frac14 k \vec{v} \\ 1: \vec{CQ}=-\vec{v}+\vec{BQ}=-\frac12k\vec{u}+(\frac14k-1)\vec{v} \\ \vec{CA}=-\vec{u}-\vec{v} \\ 2: \vec{CQ}=m\cdot \vec{CA}=-m\vec{u}-m\vec{v}[/tex]

Nå har vi to ligninger for [tex]\vec{CQ}[/tex], og da er det en smal sak å finne [tex]m[/tex], som vi trenger til å løse oppgaven. Ved regelen om like vektorer får vi ligningssettet

[tex]-\frac12k\vec{u}+(\frac14k-1)\vec{v}=-m\vec{u}-m\vec{v} \\ -\frac12k=-m \\ \frac14k-1=-m \\ \frac14k-1=-\frac12k \\ \frac34k=1 \\ k=\frac43 \\ m=\frac12\cdot\frac43=\frac23 \\ \vec{CQ}=\frac23\vec{CA} \\ \,\,\,\,\,\,\,\, \Updownarrow \\ \vec{AQ}=\frac13\vec{AC} \\ \frac{|\vec{AC}|}{|\vec{AQ}|}=\frac{\cancel{|\vec{AC}|}}{\frac13\cancel{|\vec{AC}|}}=\frac{1}{\frac13}=\underline{\underline{3}}[/tex]

[Zivert]

Et lite hint til en enkel løsning er å bruke Menelaus teoremet:
http://en.wikipedia.org/wiki/Menelaus_theorem

[Charlatan]

Fint espen.

@ Zivert, var den jeg også brukte, vil du vise?

[Zivert]

Lar noen andre få æren