Enda en fra Harvard sine fysikksider:
En velkjent oppgave i 3FY er å finne vinkelen hvor et legeme som glir friksjonsfritt langs en overflaten til en halvkule mister kontakt med overflaten. I den tradisjonelle utgaven av oppgaven er denne halvkule-kuppelen fiksert til bakken. Men hvordan blir det når kuppelen kan gli friksjonsfritt i forhold til underlaget? Finn vinkelen når legemet mister kontakt med kuppelen. Anta at massen til kuppelen er lik massen til legemet.
http://www.physics.harvard.edu/academic ... prob87.pdf
Nøtt - legeme glir langs kuppel
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Skulle tro underlaget til partikkelet ikke blir påvirket av hva partikkelet gjør, gitt at det er totalt friksjonsfritt. Tror ikke halvkulen vil få noen akselerasjon med andre ord. Kan det stemme? Jobber med å finne den nøyaktige vinkelen, men ser at (hvis det stemmer at halvkulen ikke akselerer) når [tex]\vec{mg}+\vec{tk}=\vec{v}[/tex] tangerer periferien til sirkelsektoren, vil partikkelet gi slipp.
Vektoren v er summen av tiny kick vektoren og den potensielle energien til partikkelet.
Vektoren v er summen av tiny kick vektoren og den potensielle energien til partikkelet.
Kuppelen vil bevege seg. Den står på friksjonsfritt underlag, så hvis legemet er i kontakt med kuppelen (bortsett fra akkurat på toppen, hvor det starter), så vil normalkraften som virker på legemet ha en horisontal komponent. Motkraften til denne vil akselerere kuppelen.
Skal man kunne svare på slike spørsmål etter 3FY?Du må ikke henge deg så mye opp i "tiny kick". Den er bare tilstede for ellers ville ikke legemet gjort annet enn å stå stille på toppen av kuppelen.
Tips: Det er lurt å bruke energi og bevegelsesmengdebetraktninger. Det er også lurt å løse 3FY-varianten av oppgaven først, dvs med fiksert kuppel.
Tips: Det er lurt å bruke energi og bevegelsesmengdebetraktninger. Det er også lurt å løse 3FY-varianten av oppgaven først, dvs med fiksert kuppel.
Kan du verifisere at vinkelen er gitt ved at [tex]\cos \theta = \left( \frac{M}{m}+\sqrt{ \left( \frac{M}{m} \right)^2+\left( \frac{M}{m}-\frac{1}{3}\right)^3 } \right)^{\frac{1}{3}} + \left( \frac{M}{m}-\sqrt{ \left( \frac{M}{m} \right)^2+\left( \frac{M}{m}-\frac{1}{3} \right)^3 } \right)^{\frac{1}{3}}[/tex] ?
Altså den reelle positive løsningen under 1 på [tex]\cos^3\theta+(\frac{3M}{m}-1)\cos\theta-\frac{2M}{m}=0[/tex]
Dette gir [tex]\cos \theta = (1+\sqrt{\frac{35}{27}})^{\frac{1}{3}}+(1-\sqrt{\frac{35}{27}})^{\frac{1}{3}}[/tex] når [tex]M=m[/tex]. Denne har sikkert en finere form... ( [tex]\theta \approx 39.56 ^\circ[/tex] )
Altså den reelle positive løsningen under 1 på [tex]\cos^3\theta+(\frac{3M}{m}-1)\cos\theta-\frac{2M}{m}=0[/tex]
Dette gir [tex]\cos \theta = (1+\sqrt{\frac{35}{27}})^{\frac{1}{3}}+(1-\sqrt{\frac{35}{27}})^{\frac{1}{3}}[/tex] når [tex]M=m[/tex]. Denne har sikkert en finere form... ( [tex]\theta \approx 39.56 ^\circ[/tex] )
Vi antar at radiusen av kuppelen er 1
Vi finner kraften kulen har mot sentrum av bunnen av kuppelen;
[tex]F_1=mg\cos\theta[/tex]
Vi finner den vannrette komponenten:
[tex]F_2=F_1 \cos(90-\theta)=mg \cos\theta \sin \theta[/tex]
Vi finner akselerasjonen av kuppelen:
[tex]a_1M=F_2 \Rightarrow a_1 = \frac{mg}{M} \cos\theta \sin \theta[/tex]
Vi finner akselerasjonen i retning mot sentrum av kuppelen fra kulen:
[tex]a_2=a_1 \cos(90-\theta)=\frac{mg}{M} \cos\theta (1-\cos^2 \theta)[/tex]
Vi finner hastigheten til kula ved å bruke energi bevart (høyden [tex]h[/tex] er [tex]\cos\theta[/tex]):
[tex]2h_0g+v_0^2=2hg+v^2 \Rightarrow v^2=2g(1-\cos\theta)[/tex]
Nå finner vi akselerasjonen kula må ha mot sentrum av kuppelen som følge av farten for å holde seg på overflaten: [tex]a_3=v^2/1=2g(1-\cos\theta)[/tex]
Nå vet vi at [tex]a_2+a_3[/tex] er akselerasjonen mot sentrum av kuppelen for å holde kulen på overflaten, [tex]a_0=g\cos\theta[/tex] er akselerasjonen kulen har mot sentrum som følge av gravitasjonskraften.
Vi vil vite når [tex]a_3+a_2 \geq a_0[/tex]
Dette skjer selvfølgelig først når [tex]a_3+a_2=a_0[/tex]
Dvs når [tex]2g(1-\cos\theta)+\frac{mg}{M} \cos\theta (1-\cos^2 \theta) = g\cos\theta[/tex]
Hvis vi setter [tex]\cos\theta = x[/tex] får vi [tex]2(1-x)+\frac{m}{M}x(1-x^2)=x[/tex]
Dette gir [tex]x^3+(\frac{3M}{m}-1)x-\frac{2M}{m}=0[/tex] som har løsningen jeg sa i forrige post.
Hvor ligger feilen?
Vi finner kraften kulen har mot sentrum av bunnen av kuppelen;
[tex]F_1=mg\cos\theta[/tex]
Vi finner den vannrette komponenten:
[tex]F_2=F_1 \cos(90-\theta)=mg \cos\theta \sin \theta[/tex]
Vi finner akselerasjonen av kuppelen:
[tex]a_1M=F_2 \Rightarrow a_1 = \frac{mg}{M} \cos\theta \sin \theta[/tex]
Vi finner akselerasjonen i retning mot sentrum av kuppelen fra kulen:
[tex]a_2=a_1 \cos(90-\theta)=\frac{mg}{M} \cos\theta (1-\cos^2 \theta)[/tex]
Vi finner hastigheten til kula ved å bruke energi bevart (høyden [tex]h[/tex] er [tex]\cos\theta[/tex]):
[tex]2h_0g+v_0^2=2hg+v^2 \Rightarrow v^2=2g(1-\cos\theta)[/tex]
Nå finner vi akselerasjonen kula må ha mot sentrum av kuppelen som følge av farten for å holde seg på overflaten: [tex]a_3=v^2/1=2g(1-\cos\theta)[/tex]
Nå vet vi at [tex]a_2+a_3[/tex] er akselerasjonen mot sentrum av kuppelen for å holde kulen på overflaten, [tex]a_0=g\cos\theta[/tex] er akselerasjonen kulen har mot sentrum som følge av gravitasjonskraften.
Vi vil vite når [tex]a_3+a_2 \geq a_0[/tex]
Dette skjer selvfølgelig først når [tex]a_3+a_2=a_0[/tex]
Dvs når [tex]2g(1-\cos\theta)+\frac{mg}{M} \cos\theta (1-\cos^2 \theta) = g\cos\theta[/tex]
Hvis vi setter [tex]\cos\theta = x[/tex] får vi [tex]2(1-x)+\frac{m}{M}x(1-x^2)=x[/tex]
Dette gir [tex]x^3+(\frac{3M}{m}-1)x-\frac{2M}{m}=0[/tex] som har løsningen jeg sa i forrige post.
Hvor ligger feilen?
Akselerasjonen til kulen mot sentrum er jo [tex]a_0[/tex], og når denne er mindre enn akselerasjonen som trengs for ha en positiv normalkraft for et objekt i bane rundt kuppelen, så faller den vekk.
Er det mulig at formelen [tex]a^2=v^2/r^2[/tex] ikke gjelder i dette tilfellet forresten? Hvis ikke, så er det nok der feilen ligger.
Er det mulig at formelen [tex]a^2=v^2/r^2[/tex] ikke gjelder i dette tilfellet forresten? Hvis ikke, så er det nok der feilen ligger.