matematikk.net

Finn [tex]f(x)[/tex] når

[tex]\iint f(x) \rm{d}x\rm{d}x=\frac{-x-f(x)}{4}[/tex]



Integralkonstanten er ikke tatt med i bildet. Evt. kan man hekte [tex]+C_1x+C_2[/tex] på høyresiden.


Kom over denne ved en tilfeldighet. Skal bli spennende å se om noen tar den. Husk å vise fremgangsmåten.

Hvis vi deriverer med hensyn på x på begge sider to ganger, oppnår vi at [tex]4f(x)+f^{\prime}_^\prime(x)=0[/tex].
Tenker litt på trigonometriske funksjoner og ser at [tex]f(x)=A\sin(2x) \ \rm{og} \ f(x) = B\cos(2x)[/tex] fungerer, hvor [tex]A[/tex] og [tex]B[/tex] er konstanter.

Kan ikke si noe om eventuelle flere løsninger.

Setter vi inn når vi dobbeltintegrerer disse funksjonene får vi når [tex]f(x)=A\sin(2x)[/tex] : [tex]\frac{2C_1x-A\sin(2x)}{4}+C_2[/tex]. Vi oppnår likheten når integralkonstantene har disse verdiene: [tex]C_1=-\frac{1}{2}[/tex] og [tex]C_2=0[/tex].

At det stemmer når [tex]f(x)=B\cos(2x)[/tex] kan verifiseres på liknende vis.