Ferdig forkorta brøk

[mrcreosote]

Vis at brøken [tex]\frac{21n+4}{14n+3}[/tex] ikke kan forkortes for noen naturlige tall n.

[FredrikM]

Hm. Nå har jeg aldri prøvd induksjon før, så det er høy sannsynlig for at dette bare er bæsj.

---

Ser med en gang at dette uttrykket ikke lar seg forkorte for n=0 og n=1. Prøver med n+1:
[tex]\frac{21(n+1)+4}{14(n+1)+3}=\frac{21n+25}{14n+4}[/tex]

Ser at heller ikke dette uttrykket har noen felles faktorer. Slik kan jeg fortsette i uendeligheten uten at det dukker opp felles faktorer fordi 21 og 14 er innbyrdes primiske.

--

Det var det jeg prøvde meg på. Er jeg litt eller mye på bærtur?

[bartleif]

Holder det med induksjon? Prøver jeg, setter n=1:

[tex]\frac{21n+4}{14n+3}[/tex] [tex]\rightarrow[/tex] [tex]\frac{21+4}{14+3}=\frac{25}{17}[/tex]

primtalls faktorisering viser at brøken ikke kan forkortes.

Setter n=(k+1) og n=k i samme slengen. Hvor k er vilkårlige hele tall.

[tex]N_{k+1}=\frac{21(k+1)+4}{14(k+1)+3}=\frac{21k+25}{14k+17}[/tex]


[tex]N_{k}=\frac{21k+4}{14k+3}[/tex]
Her ser man kjapt at det ikke finnes noe helt tall man kan faktorisere ved hjelp av, og kan derfor konkludere at påstanden er korrekt.

Hvordan ser dette ut?

Edit: Slått på målstreken, ser ut som vi har gjort stort sett det samme, så er vel rett dette da Likte formuleringen:"innbyrdes primiske", nice one

[MatteNoob]

Vis at brøken [tex]\frac{21n+4}{14n+3}[/tex] ikke kan forkortes for noen naturlige tall n.

Usikker på hvordan jeg skal vise dette, men ved å bruke 1 og 2, så har jeg vel bevist det, ettersom:

[tex]n = 1 \Rightarrow \frac{25}{17} \\ \, \\ n = 2 \Rightarrow \frac{46}{31}[/tex]

Dette kan vel også sies for:

[tex]\frac{n+2}{n+1}[/tex]

og

[tex]\frac{n+1}{n+2}[/tex]

Usikker på hvordan jeg skal formulere meg her, så hjelp meg gjerne med det. Er ikke så stødig på å bevise saker og ting.

[daofeishi]

Vi bruker det velkjente resultatet at dersom a = kb + c, så er gcd(a,b) = gcd(b,c)

(21n + 4) = (14n + 3) + (7n + 1)
(14n + 3) = 2(7n+1) + 1

Dermed er [tex]\gcd(21n+4, \ 14n+3) = \gcd(14n+3, \ 7n+1) = \gcd(7n+1, \ 1) = 1[/tex]

Teller og nevner er altså relativt primiske, og kan derfor ikke forkortes.

[daofeishi]

21 og 14 er innbyrdes primiske

Nei, det er de ikke: 21 og 14 har 7 som felles faktor.

Som oppfølgeroppgave kan vi jo prøve å bevise teoremet jeg benyttet meg av - altså, dersom a, b, c, k, er heltall, og a =kb + c, så er gcd(a, b) = gcd(b, c) (der gcd betyr "største felles faktor")

[bartleif]

Det du mener er at finnes det et naturlig tall (i denne oppgaven) som kan sittes inn som gcd er brøken til å forkorte? Eller har jeg misforstått?

[daofeishi]

Dersom brøken kan forkortes, finnes det en felles faktor i teller og nevner. gcd er den STØRSTE felles faktoren i de to tallene. Dersom den største felles faktoren til teller og nevner er 1, betyr det at det ikke finnes noen andre faktorer enn 1 som kan deles vekk i både teller OG nevner. Dermed er brøken "ferdig forkortet."

[FredrikM]

21 og 14 er innbyrdes primiske

Nei, det er de ikke: 21 og 14 har 7 som felles faktor.

Som oppfølgeroppgave kan vi jo prøve å bevise teoremet jeg benyttet meg av - altså, dersom a, b, c, k, er heltall, og a =kb + c, så er gcd(a, b) = gcd(b, c) (der gcd betyr "største felles faktor")

Ops. *visste jeg da*

Men er beviset mitt gyldig bortsett fra den setningen?