matematikk.net

I en tallfølge er det første leddet x[sub]1[/sub] = a, der [tex]\,\,a \in \mathbb{R}.\,\,[/tex]De andre ledda er gitt ved:

[tex]x_2\,=\,\frac{2x_1}{1+x_1} [/tex]


[tex] x_3\,=\,\frac{2x_2}{1+x_2}[/tex]

osv. Generelt er:

[tex]x_{i+1}\,=\,\frac{2x_i}{1+x_i}\,\,,\,\,\,\,\,i \in {1,2,3,...}[/tex]
--------------------

a)
Vis at

[tex]x_3\,=\,\frac{4a}{1+3a}[/tex]

Finn x[sub]4[/sub] uttrykt ved a.

-------------------
Ledd nr (n-1) i tallfølga kan skrives på formen:

[tex]x_{n-1}\,=\,\frac{a\cdot 2^{n-2}}{1\,+\,a(1+2+2^2+2^3+...+2^{n-3})}\,\,,\,\,\,n \geq 3[/tex]

b)
Vis at dette stemmer for n=5.

c)
Vis at x[sub]n[/sub] kan skrives på formen

[tex]x_n\,=\,\frac{a\cdot 2^{n-1}}{a\cdot 2^{n-1}\,+\,(1-a)}\,\,\, ,\,\,\,\,n \in \mathbb{N}[/tex]

d)
Undersøk om tallfølga er konvergent. Begrunn svaret.

Tar a eg:

Vis at [tex]x_3=\frac{4a}{1+3a}[/tex]

Setter inn for x_2, som vi vet i x_3, og det blir:

[tex]x_3=\frac{2(\frac{2a}{1+a})}{1+(\frac{2a}{1+a})}[/tex]
Utvider brøkene i teller og nevner:

[tex]x_3=\frac{\frac{(4a)}{\cancel{1+a}}}{\frac{(1+a)+(2a)}{\cancel{1+a}}}[/tex]

Teller og nevner strykes mot hverandre og vi får:
[tex]x_3=\frac{4a}{1+3a}[/tex]

Ved samme prosses finner vi at:
[tex]x_4=\frac{8a}{1+7a}[/tex]

c) Dette kan vises rimelig lett med induksjon, og i og med at jeg ikke er helt stø på tex overlater jeg selve bevisføringen til noen snille sjeler. Ahem.

d) Om vi deler på 2^(n-1) i uttrykket for x[sub]n[/sub] og finner grenseverdien når n går mot uendelig blir denne a/a, som er 1 om ikke a er 0. Om a hadde vært 0 hadde uansett x[sub]1[/sub]=x[sub]2[/sub]=x[sub]n[/sub]=0, og det hadde ikke vært veldig spennende. Altså konvergerer rekken mot 0 eller 1 avhengig av startverdien a.

Janhaa skrev:Ledd nr (n-1) i tallfølga kan skrives på formen:

[tex]x_{n-1}\,=\,\frac{a\cdot 2^{n-2}}{1\,+\,a(1+2+2^2+2^3+...+2^{n-3})}\,\,,\,\,\,n \geq 3[/tex]

b)
Vis at dette stemmer for n=5

[tex]x_{5-1} = x_4 = \frac{a\cdot 2^{5-2}}{1+a(2^{5-3}+2+1)} = \frac{a2^3}{1+a(2^2 + 2+1)} = \frac{8a}{1+7a} \\ \, \\ \text{samsvar med:} \Downarrow \\ \, \\ [/tex]

bartleif skrev:[tex]x_4=\frac{8a}{1+7a}[/tex]

Ser bra ut dette folkens.

c) kan vises med induksjon ja. dessuten kan man sjølsagt bruke info'en i b) [tex]\,\,x_{i+1}\,\,og\,\,x_{n-1}.\,\,[/tex]Og da utlede uttrykk for [tex]\,\,x_n.[/tex]