I en tallfølge er det første leddet x[sub]1[/sub] = a, der [tex]\,\,a \in \mathbb{R}.\,\,[/tex]De andre ledda er gitt ved:
[tex]x_2\,=\,\frac{2x_1}{1+x_1} [/tex]
[tex] x_3\,=\,\frac{2x_2}{1+x_2}[/tex]
osv. Generelt er:
[tex]x_{i+1}\,=\,\frac{2x_i}{1+x_i}\,\,,\,\,\,\,\,i \in {1,2,3,...}[/tex]
--------------------
a)
Vis at
[tex]x_3\,=\,\frac{4a}{1+3a}[/tex]
Finn x[sub]4[/sub] uttrykt ved a.
-------------------
Ledd nr (n-1) i tallfølga kan skrives på formen:
[tex]x_{n-1}\,=\,\frac{a\cdot 2^{n-2}}{1\,+\,a(1+2+2^2+2^3+...+2^{n-3})}\,\,,\,\,\,n \geq 3[/tex]
b)
Vis at dette stemmer for n=5.
c)
Vis at x[sub]n[/sub] kan skrives på formen
[tex]x_n\,=\,\frac{a\cdot 2^{n-1}}{a\cdot 2^{n-1}\,+\,(1-a)}\,\,\, ,\,\,\,\,n \in \mathbb{N}[/tex]
d)
Undersøk om tallfølga er konvergent. Begrunn svaret.
Litt 3MX kos II
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Tar a eg:
Vis at [tex]x_3=\frac{4a}{1+3a}[/tex]
Setter inn for x_2, som vi vet i x_3, og det blir:
[tex]x_3=\frac{2(\frac{2a}{1+a})}{1+(\frac{2a}{1+a})}[/tex]
Utvider brøkene i teller og nevner:
[tex]x_3=\frac{\frac{(4a)}{\cancel{1+a}}}{\frac{(1+a)+(2a)}{\cancel{1+a}}}[/tex]
Teller og nevner strykes mot hverandre og vi får:
[tex]x_3=\frac{4a}{1+3a}[/tex]
Ved samme prosses finner vi at:
[tex]x_4=\frac{8a}{1+7a}[/tex]
Vis at [tex]x_3=\frac{4a}{1+3a}[/tex]
Setter inn for x_2, som vi vet i x_3, og det blir:
[tex]x_3=\frac{2(\frac{2a}{1+a})}{1+(\frac{2a}{1+a})}[/tex]
Utvider brøkene i teller og nevner:
[tex]x_3=\frac{\frac{(4a)}{\cancel{1+a}}}{\frac{(1+a)+(2a)}{\cancel{1+a}}}[/tex]
Teller og nevner strykes mot hverandre og vi får:
[tex]x_3=\frac{4a}{1+3a}[/tex]
Ved samme prosses finner vi at:
[tex]x_4=\frac{8a}{1+7a}[/tex]
c) Dette kan vises rimelig lett med induksjon, og i og med at jeg ikke er helt stø på tex overlater jeg selve bevisføringen til noen snille sjeler. Ahem.
d) Om vi deler på 2^(n-1) i uttrykket for x[sub]n[/sub] og finner grenseverdien når n går mot uendelig blir denne a/a, som er 1 om ikke a er 0. Om a hadde vært 0 hadde uansett x[sub]1[/sub]=x[sub]2[/sub]=x[sub]n[/sub]=0, og det hadde ikke vært veldig spennende. Altså konvergerer rekken mot 0 eller 1 avhengig av startverdien a.
d) Om vi deler på 2^(n-1) i uttrykket for x[sub]n[/sub] og finner grenseverdien når n går mot uendelig blir denne a/a, som er 1 om ikke a er 0. Om a hadde vært 0 hadde uansett x[sub]1[/sub]=x[sub]2[/sub]=x[sub]n[/sub]=0, og det hadde ikke vært veldig spennende. Altså konvergerer rekken mot 0 eller 1 avhengig av startverdien a.
[tex]x_{5-1} = x_4 = \frac{a\cdot 2^{5-2}}{1+a(2^{5-3}+2+1)} = \frac{a2^3}{1+a(2^2 + 2+1)} = \frac{8a}{1+7a} \\ \, \\ \text{samsvar med:} \Downarrow \\ \, \\ [/tex]Janhaa skrev:Ledd nr (n-1) i tallfølga kan skrives på formen:
[tex]x_{n-1}\,=\,\frac{a\cdot 2^{n-2}}{1\,+\,a(1+2+2^2+2^3+...+2^{n-3})}\,\,,\,\,\,n \geq 3[/tex]
b)
Vis at dette stemmer for n=5
bartleif skrev:[tex]x_4=\frac{8a}{1+7a}[/tex]
Øver du til eksamen i matematikk? Se eksamensoppgaver med løsningsforslag.
Vil du ha egen webside, se her for å lage hjemmeside.
Vil du ha egen webside, se her for å lage hjemmeside.
Ser bra ut dette folkens.
c) kan vises med induksjon ja. dessuten kan man sjølsagt bruke info'en i b) [tex]\,\,x_{i+1}\,\,og\,\,x_{n-1}.\,\,[/tex]Og da utlede uttrykk for [tex]\,\,x_n.[/tex]
c) kan vises med induksjon ja. dessuten kan man sjølsagt bruke info'en i b) [tex]\,\,x_{i+1}\,\,og\,\,x_{n-1}.\,\,[/tex]Og da utlede uttrykk for [tex]\,\,x_n.[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]