Litt 3MX kos

[Janhaa]

a)
Deriver funksjonen f gitt ved:

[tex]f(x)\,=\,\ln(x\,+\,\sqrt{x^2+1})[/tex]



b)
Regn ut

[tex]\int_0^1\,\frac{{\rm dx}}{\sqrt{x^2+1}}[/tex]

uten kalkis

[BMB]

a)

Setter [tex]u=x+\sqrt{x^2+1}[/tex].

[tex]f(x)=ln(u)[/tex]

[tex]f^,(x)=u^{-1} \cdot u^,[/tex]

Vi har at [tex]u^,=(x+\sqrt{x^2+1})^,=1+\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}[/tex]

Trekker dette sammen og får [tex]=\frac{x+\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}[/tex]

Det endelige svaret blir da:

[tex]f^,(x)={\frac{1}{x+sqrt{x^2+1}} \cdot {\frac{x+\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}[/tex]

[MatteNoob]

a)
Deriver funksjonen f gitt ved:

[tex]f(x)\,=\,\ln(x\,+\,\sqrt{x^2+1})[/tex]

b)
Regn ut

[tex]\int_0^1\,\frac{{\rm dx}}{\sqrt{x^2+1}}[/tex]

uten kalkis

a)
(Så kjent ut, hehehehe) :]

[tex]u = x+\sqrt{x^2+1} \\ \, \\ u\prime = (x)\prime + (\sqrt{x^2+1})\prime \cdot (x^2+1)\prime \\ \, \\ u\prime = 1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}[/tex]

[tex](\ln u)\prime = \frac{u\prime}{u}[/tex]

[tex]f\prime(x) = \frac{1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}}[/tex]

Forkorter:

[tex]\frac{\frac{x+\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}} = \frac{\cancel{x+\sqrt{x^2+1}}}{\sqrt{x^2+1}} \cdot \frac{1}{\cancel{x+\sqrt{x^2+1}}}[/tex]

[tex]f\prime(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}[/tex]

b)
Bare for ordens skyld :]
[tex]\int_0^1\frac{\rm{dx}}{\sqrt{x^2+1}} = \int_0^1 \left(\frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \right) \rm{dx}[/tex]

Skriver om integranden til:
[tex]\int_0^1\left(\frac{\sqrt{x^2+1}}{x^2+1}\right)\rm{dx}[/tex]

[tex]u = x^2+1 \\ \, \\ du = 2x\, \rm{dx}[/tex]

[tex]\int_{u(0)}^{u(1)}\left( \frac{\sqrt u}{u}\right)\rm{du} = \int_1^2\left(u^{-\frac 12}\right)\rm{du} = \frac{\sqrt u}{-\frac 12 +1}|_1^2 = 2\sqrt{u}|_1^2 = \underline{\underline{ 2\sqrt{2}-2}}[/tex]

[=)]

Hint til b);

a)

[MatteNoob]

Skjønner hintet ditt, og tenkte selvsagt på det med en gang jeg så integralet i b, men er ikke det jeg har gjort også riktig?

EDIT:
Nei, jeg ser det nå... La meg forsøke igjen, hehe.

EDIT:
Hmmm. Er usikker på hvordan jeg skal integrere her, er det jeg har gjort riktig? I tilfellet, hvor trår jeg feil?

EDIT:
Nei, det går vel ikke... Har ikke substituert 2x dx her...

[Mayhassen]

Substitusjonen din blir vel feil MatteNoob. Hvordan forkorter du bort 2x der?

Litt tilleggsinfo som du kanskje syns er interessant er

[tex]\sinh x =\frac{e^x-e^{-x}}{2}[/tex]
og at
[tex]\sinh^{-1} x = \ln (x+\sqrt{x^2+1})[/tex] (hvordan skriver man arcsinh i tex?)
Og du har jo selv funnet deriverte av denne hyperbolske sinusen

[Janhaa]

Substitusjonen din blir vel feil MatteNoob. Hvordan forkorter du bort 2x der?
Litt tilleggsinfo som du kanskje syns er interessant er
[tex]\sinh x =\frac{e^x-e^{-x}}{2}[/tex]
og at
[tex]\sinh^{-1} x = \ln (x+\sqrt{x^2+1})[/tex] (hvordan skriver man arcsinh i tex?)
Og du har jo selv funnet deriverte av denne hyperbolske sinusen

Ja, stemmer gutta. Greia her var å benytte seg av a) i deloppgave b).
Selve integrasjonen (av det ubestemte integralet) er for vanskelig i 3MX og R2.

[tex]I\,=\,\int \frac{{\rm dx}}{\sqrt{x^2+1}}\,=\,\ln(x\,+\,\sqrt{x^2+1})\,+\,C\,=\,\text arcsinh(x)\,+\,C[/tex]

[MatteNoob]

@ Janhaa

Okey, jeg pleier alltid å tenke at deloppgave b er vanskeligere enn a, og jeg visste selvfølgelig at den antideriverte av integranden var f(x). Derfor trodde jeg at jeg skulle regne meg frem til svaret i a. (Som jeg ikke fant)

Du sier det er vanskelig for oss med den kompetansen å ta det, men du må mer enn gjerne løse det med mellomregninger, for det hadde vært moro å se hvordan det løses.

[Janhaa]

@ Janhaa
Okey, jeg pleier alltid å tenke at deloppgave b er vanskeligere enn a, og jeg visste selvfølgelig at den antideriverte av integranden var f(x). Derfor trodde jeg at jeg skulle regne meg frem til svaret i a. (Som jeg ikke fant)
Du sier det er vanskelig for oss med den kompetansen å ta det, men du må mer enn gjerne løse det med mellomregninger, for det hadde vært moro å se hvordan det løses.

OK, da kjører vi igang MathNoob


[tex]I=\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+1}[/tex]

sett u = arctan(x)
x = tan(u)

[tex]du=\frac{dx}{1+x^2}[/tex]

--------

[tex]I=\int \frac{(x^2+1)\,du}{\sqrt{x^2+1}}\,=\,\int \sqrt{x^2+1}\,du\,=\,\int \sqrt{\tan^2(u)+1}\,du=\int \frac{du}{\cos(u)[/tex]

dette integralet har vi løst ørten ganger her på forumet (Magnus, olorin og meg...mener jeg å huske). Bare søk. Jeg gidder ikke det nå.

[tex]I=\ln|\sec(u)\,+\,\tan(u)|\,+\,C[/tex]

der sec(u) = 1/cos(u)

tilbakesubstituerer igjen;

[tex]I=\ln(x\,+\,\sqrt{x^2+1})\,+\,C[/tex]

Finito

[mrcreosote]

En annen mulighet som jeg trur også har vært oppe før: Gjør substitusjonen [tex]x=\frac{e^u-e^{-u}}2(=\sinh u)[/tex]. Bør være mulig for flinke vdg-elever. Er relativt rett fram, prøv, så skal vi heller hjelpe deg videre om det stopper en plass.

[Janhaa]

En annen mulighet som jeg trur også har vært oppe før: Gjør substitusjonen [tex]x=\frac{e^u-e^{-u}}2(=\sinh u)[/tex]. Bør være mulig for flinke vdg-elever. Er relativt rett fram, prøv, så skal vi heller hjelpe deg videre om det stopper en plass.

Ja, den er fin. Egentlig endel enklere også