matematikk.net

Hvor mange kvadrater fins det på et sjakkbrett? Hvor mange rektangler?

Kvadrater:
1x1: 8^2=64
2x2: 7^2=49
3x3: 6^2=36
4x4: 5^2=25
5x5: 4^2=16
6x6: 3^2=9
7x7: 2^2=4
8x8: 1^2=1

Altså 204

Rektangler:
Ser i første omgang bort fra kvadratene for heller å addere dem til slutt.
"Stående":
1x2: 7*8
1x3: 6*8
1x4: 5*8
1x5: 4*8
1x6: 3*8
1x7: 2*8
1x8: 1*8

Ser at antall stående rektangler med bredden 1 kan skrives som (1+2+3+4+5+6+7)8
2x3: 6*7

...

2x8: 1*7

=(1+2+3+4+5+6)7

Bredde på 3 stående=(1+2+3+4+5)6

....

Bredde på 7 stående: 1*2

Summen av stående rektangler (forutenom kvadratene):
28*8+21*7+15*6+10*5+6*4+3*3+1*2=546

Vi har et tilsvarende mengde liggende rektangler.

Antall rektangler blir altså: 546*2+204=1296

Trur de svara er riktige, ja. Hva nå om vi i stedet for et sjakkbrett har et brett med dimensjon n ganger m?

Oppgaven er svært lik en oppgave på project euler, så jeg har løsningen på en del av den.

På et sjakkbrett n*m ruter finnes det [tex]\sum_{j=1}^n j \ \cdot \sum_{k=1}^m k [/tex] firkanter inklusiv kvadrater og rektangler. Kommer tilbake med fordelingen rektangler/kvadrater når jeg har fått tenkt litt.

I den grad man godtar funksjonen min(x,y) så er antallet kvadrater lik [tex]\sum_{k=1}^{\text{min}(n,m)} k^2 [/tex]

Antall rektangler stemmer, men en formel er lite verdt uten forklaring.

Kvadrater: I et 2*1-rutenett er det 2 og ikke 1 kvadrater, så formelen kan ikke stemme.

Det stemmer det, jeg var alt for raskt ute og glemte noen detaljer angående kvadrater. Jeg arbeider vidre med denne.

på et sjakkbrett n*m ruter kan man fylle inn en firkant med størrelsen n*m, og n*m firkanter med størrelsen 1*1. hvis du bruker (n-1)(m-1) størrelse på firkanten vil du kunne ha 2*2 løsninger. Kanskje litt vanskelig å forklare med hensyn på trøtthet i øyeblikket. Men det er forklaringen på formelen.

Skal vi se, antall kvadrater i på et sjekkbrett med størrelsen n*m så klarte jeg å utlede denne:

[tex] \sum_{k=1}^{n} ((n-k+1)(m-k+1)) \ \ \ \ n \leq m [/tex]

Det er en forutsetning at n er midre eller lik m. ellers må verdiene bytte plass.

Noe sent ute, men mener jeg har utledet korrekt formel for dette..
(m x n x (m +1) x (n + 1))/4

NB. Det er formelen for kvadrater OG rektangler..