Fallende legeme

[Janhaa]

I denne oppgava ser vi på en matematisk modell for et legeme som faller fritt, uten luftmotstand, i jordas gravitasjonsfelt. Dersom h er legemets høyde over jordoverflaten, og angis med jordradien som enhet, så er sammenhengen mellom h og legemets fart v bestemt av differensiallikningen:

[tex]\text v\,\frac{dv}{dh}\,=\,-(\frac{b}{1+h})^2\,,\\ \\ der b\,>\,0[/tex]
-------------------------
a)
Anta at legemet slippes uten begynnelsesfart fra høyden h = 1. Vis, ved å
løse diff.likningen ovenfor, at legemets fart (absoluttverdien) i høyden h blir:

[tex]v\,=\,b\,\frac{\sqrt{1-h^2}}{1+h}[/tex]

Hvilken fart har legemet når det treffer bakken?
----------------------------

b)
La T være være falltiden, dvs tiden fra legemet slippes i høyden h = 1 til det treffer jordoverflaten. Vis at:

[tex]T\,=\,{1\over b}\,({\pi\over 2}\,+\,1)[/tex]