matematikk.net

Finn x når

[tex]\arcsin(x)\,=\,{\pi\over 3}\,+\,\arctan(-{1\over 3})[/tex]

[tex]arcsin(x)=\frac{\pi}{3}+arctan(-\frac{1}{3})[/tex]
[tex]x=sin(\frac{\pi}{3}+arctan(-\frac{1}{3})[/tex]

Mest sannsynlig ikke det du er ute etter, men det blir vel riktig eller?

thmo skrev:[tex]arcsin(x)=\frac{\pi}{3}+arctan(-\frac{1}{3})[/tex]
[tex]x=sin(\frac{\pi}{3}+arctan(-\frac{1}{3})[/tex]
Mest sannsynlig ikke det du er ute etter, men det blir vel riktig eller?

joda - du er på rett vei. hva med å bruke sinus til sum av to vinkler nå.

Er sjølsagt ute etter en eksakt x...

Janhaa skrev:Finn x når

[tex]\arcsin(x)\,=\,{\pi\over 3}\,+\,\arctan(-{1\over 3})[/tex]

Har lest tidligere innlegg, så mye av dette er jo "juks".

[tex]x = \sin\left(\frac \pi 3 + \arctan(-\frac 13)\right) \\ \, \\ x = \sin(\frac \pi 3) \cdot \cos(\arctan(-\frac 13)) + \cos(\frac \pi 3) \cdot \sin(\arctan(-\frac 13)) \\ \, \\ x = \frac{\sqrt 3}{2} \cdot \cos(\arctan(-\frac 13)) + \frac 12 \cdot \sin(\arctan(-\frac 13)) \\ \, \\ x = \frac{ \sqrt 3 \cdot \cos(\arctan(-\frac 13)) + \sin(\arctan(-\frac 13))}{2}[/tex]

Blir veldig usikker på hvordan jeg skal håndtere [tex]\arctan(-\frac 13)[/tex] og jeg har lest om inverse trigonometriske funksjoner på wikipedia, uten å bli særlig klokere. Forsøkte også med endel forskjellig, men fikk det altså ikke til.

Edit:
Jeg klarer ikke slutte å tenke på denne... Jeg prøver dette...

[tex]\tan(y) = -\frac 13 \\ \, \\ -y = \arctan(\frac 13)[/tex]

Vi har altså en rettvinklet trekant der:

[tex]\text{Hypotenus: } \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}\\ \, \\ \text{Mot. katet: } 1 \\ \, \\ \text{Hos. katet: } 3[/tex]

[tex]-y = \arccos(\frac{3}{\sqrt{10}}) \\ \, \\ -y = \arcsin(\frac{1}{\sqrt{10}})[/tex]

[tex]x = \frac{ \sqrt 3 \cdot \cos(\arctan(-\frac 13)) + \sin(\arctan(-\frac 13))}{2}[/tex]

Setter inn:

[tex]x = \frac{ \sqrt 3 \cdot \cos(\arccos(-\frac {3}{\sqrt{10}})) + \sin(\arcsin(-\frac{1}{\sqrt{3}}))}{2}[/tex]

Jeg antar at cos, arccos og sin, arcsin kansellerer hverandre.

[tex]x = \frac{\sqrt 3 \cdot \left(-\frac{3}{\sqrt{10}}\right) + \left(-\frac{1}{\sqrt{10}}\right)}{2}[/tex]

[tex]x = - \frac{ \frac{3\sqrt 3 + 1}{\sqrt{10}}}{2} = - \frac{3\sqrt{3}+1}{2\sqrt{10}}[/tex]

Det er ikke nødvendig å forenkle dette svaret ytterligere, for det er feil. Hva er det jeg gjør som er feil?

DOUBLE EDIT:
Jeg ser at:
[tex]\frac{3\sqrt 3 - 1}{2\sqrt{10}} = \frac{3\cdot\sqrt{120}-\sqrt{40}}{40}[/tex]

gir riktig svar, men jeg forstår ikke hvorfor...

Nå har jeg fått litt hjelp her, og prøver igjen...

[tex]x = \frac{\sqrt 3}{2} \cdot \cos(\arctan(-\frac 13)) + \frac 12 \cdot \sin(\arctan(-\frac 13))[/tex]

Ifølge Wikipedias artikkel angående inverse trigonometriske funksjoner er:

[tex]\arctan(x) = \arcsin\left(\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\right)[/tex]

[tex]\arctan(x) = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}\right)[/tex]

[tex]x = \frac{\sqrt 3}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{\left(\frac{-1}{3}\right)^2 + 1}} + \frac 12 \cdot \frac{\frac{-1}{3}}{\sqrt{\left(\frac{-1}{3}\right)^2 + 1}} \\ \, \\ \, \\ x = \frac{ \frac{\sqrt 3}{\sqrt{\frac{10}{9}}} - \frac{\frac 13}{\sqrt{\frac{10}{9}}}}{2} = \underline{\underline{\frac{3\sqrt 3 -1}{2\sqrt{10}}}}[/tex]

Edit:
Jeg er inneforstått med at man kan gjøre svaret penere, og fjerne det irrasjonelle tallet fra nevneren. [tex]\frac{\left(3\sqrt{3}-1\right)\sqrt{10}}{20}[/tex]

Kom gjerne med en liknende oppgave til. Denne var veldig lærerik for meg. :]

EDIT:
Jeg tenkte litt mer på denne oppgaven, nå prøvde jeg dette:

[tex]x = \frac{\sqrt 3}{2} \cdot \cos(\arctan(-\frac 13)) + \frac 12 \cdot \sin(\arctan(-\frac 13))[/tex]

Rettvinklet trekant med følgende sider:
Hosliggende katet: -1
Motstående katet: 3
Hypotenus: [symbol:rot] 10

Vi har også at:
[tex]\tan(-x) = -\tan(x) \\ \, \\ \sin(-x) = -\sin(x) \\ \, \\ \cos(-x) = \cos(x)[/tex]

[tex]x = \frac{\sqrt 3}{2} \cdot \cancel{\cos}(\cancel{\arccos}(\frac{3}{\sqrt{10}})) + \frac 12 \cdot \cancel{\sin}(\cancel{\arcsin}(-\frac {1}{\sqrt{10}})) \\ \, \\ x = \frac{3\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{10}} = \underline{\underline{\frac{\left(3\sqrt 3 - 1\right) \cdot \sqrt{10}}{20}}}[/tex]

Hva er dette, avbryter du når jeg er midt i å løse oppgaven?

Neida, det går helt bra. Jeg så på den regelen for sinus til sum, men jeg hadde ikke særlig god peiling hva jeg skulle bruke den til. Men no kan jeg ihvertfall se hva du har gjort og prøve å lære litt. Godt jobbet. Flinke mannen

PS: Er det sånn at hvis det inneholder en brøk med [symbol:pi] så skal det regnes med radianer og ellers ikke?

PS: Er det sånn at hvis det inneholder en brøk med π så skal det regnes med radianer og ellers ikke?

Er vel heller det at å regne med radianer er "standard" når det kommer til trigonometri. [trorjeg]

Ja, det har du vel rett i FredrikM. Takk for svaret!

MatteNoob skrev:Nå har jeg fått litt hjelp her, og prøver igjen...
[tex]x = \frac{\sqrt 3}{2} \cdot \cos(\arctan(-\frac 13)) + \frac 12 \cdot \sin(\arctan(-\frac 13))[/tex]
Ifølge Wikipedias artikkel angående inverse trigonometriske funksjoner er:
[tex]x = \frac{\sqrt 3}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{\left(\frac{-1}{3}\right)^2 + 1}} + \frac 12 \cdot \frac{\frac{-1}{3}}{\sqrt{\left(\frac{-1}{3}\right)^2 + 1}} \\ \, \\ \, \\ x = \frac{ \frac{\sqrt 3}{\sqrt{\frac{10}{9}}} - \frac{\frac 13}{\sqrt{\frac{10}{9}}}}{2} = \underline{\underline{\frac{3\sqrt 3 -1}{2\sqrt{10}}}}[/tex]
Edit:
Jeg er inneforstått med at man kan gjøre svaret penere, og fjerne det irrasjonelle tallet fra nevneren. [tex]\frac{\left(3\sqrt{3}-1\right)\sqrt{10}}{20}[/tex]
Kom gjerne med en liknende oppgave til. Denne var veldig lærerik for meg. :]
EDIT:
Jeg tenkte litt mer på denne oppgaven, nå prøvde jeg dette:
[tex]x = \frac{\sqrt 3}{2} \cdot \cos(\arctan(-\frac 13)) + \frac 12 \cdot \sin(\arctan(-\frac 13))[/tex]
Rettvinklet trekant med følgende sider:
Hosliggende katet: -1
Motstående katet: 3
Hypotenus: [symbol:rot] 10
Vi har også at:
[tex]\tan(-x) = -\tan(x) \\ \, \\ \sin(-x) = -\sin(x) \\ \, \\ \cos(-x) = \cos(x)[/tex]
[tex]x = \frac{\sqrt 3}{2} \cdot \cancel{\cos}(\cancel{\arccos}(\frac{3}{\sqrt{10}})) + \frac 12 \cdot \cancel{\sin}(\cancel{\arcsin}(-\frac {1}{\sqrt{10}})) \\ \, \\ x = \frac{3\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{10}} = \underline{\underline{\frac{\left(3\sqrt 3 - 1\right) \cdot \sqrt{10}}{20}}}[/tex]

Ser bra ut dette, øvelse gjør mester!
Greia her er å bruke rettvinkla trekant og pytagoras.
Skal se om jeg kan trylle fram en til...

en til da, som ikke skulle by på særlig problemer;

[tex]\text{ finn den eksakte verdien av y når }\\ \arctan(y)\,-\,\arctan({1\over 2})\,=\,{\pi\over 3}[/tex]

tan på begge sider gir;

[tex]\frac{y-1/2}{1+y/2}=\sqrt{3}[/tex]

[tex]y = \frac{2\sqrt{3}+1}{2-\sqrt{3}}[/tex]

=) skrev:tan på begge sider gir;
[tex]\frac{y-1/2}{1+y/2}=\sqrt{3}[/tex]
[tex]y = \frac{2\sqrt{3}+1}{2-\sqrt{3}}[/tex]

Jupp,

-----------------------------------------

En siste oppgava av samme ulla;

[tex]\text {finn den eksakte verdien av} \\ Z=\cos(2x)\,+\,\tan(x+{\pi\over 4}) \\ \text{når $x=\arcsin({2\over 3})$}[/tex]

Janhaa skrev: [tex]\text {finn den eksakte verdien av} \\ Z=\cos(2x)\,+\,\tan(x+{\pi\over 4}) \\ \text{når $x=\arcsin({2\over 3})$}[/tex]

Tror svaret mitt er feil, men dette var muligens lærrikt, så svarer.

[tex]Z=cos^2(x)-sin^2(arcsin(\frac{2}{3}))+\frac{tan(x)+tan(\frac{\pi}{4})}{1-tan(x)\cdot tan(\frac{\pi}{4})}\\ Z=cos^2(x)-\frac{4}{9}+\frac{tan(x)+1}{1-tan(x)}\\ Z = cos^2(x)-\frac{4}{9}+\frac{2+3cos(x)}{3cosx-2}[/tex]
Så brukte jeg videre enhetssetningen til å finne en verdi for cos x, men jeg testet svaret jeg fikk så på kalkulator, og det stemmer ikke.

Forøvrig var dette svaret jeg kom fram til:
[tex]Z= \frac{1}{9}+\frac{2+\sqrt{5}}{\sqrt{5}-2}[/tex]

Janhaa skrev:en til da, som ikke skulle by på særlig problemer;

[tex]\text finn den eksakte verdien av y n{\aa}r \\ \arctan(y)\,-\,\arctan({1\over 2})\,=\,{\pi\over 3}[/tex]

[tex]\arctan(y) = \frac \pi 3 + \arctan(\frac 12) \\ \, \\ y = \tan\left(\frac \pi 3 + \arctan(\frac 12)\right) \\ \, \\ y = \frac{ \tan(\frac \pi 3) + \frac 12}{1-\tan(\frac \pi 3) \cdot \frac 12} \\ \, \\ y = \frac{\sqrt 3 + \frac 12}{1-\frac{\sqrt 3}{2}} \\ \, \\ y = \frac{ \frac{2\sqrt 3 + 1}{2}}{\frac{2-\sqrt 3}{2}} \\ \, \\ y = \frac{2\sqrt 3 + 1}{2-\sqrt 3}[/tex]

Rekker ikke forkorte nå, fattern vil ta en kaffekopp med meg... Er det riktig o' store Janhaa-mannen?

Se to poster lenger opp, du, så ser du at det stemmer pent.