En solsikke med høyde y = y(t) vokser med hastighet[tex]\,\,v(t)=\frac{1}{1+t^2}\,.\,\,\,[/tex]I en avstand d fra solsikkens rot A er der plassert ei lampe i høyde h fra bakken. På bakken sees skyggen av solsikken i B. Se figuren under.
http://bildr.no/view/224121
lengdeenheten er meter og tidsenheten er uker.
a)
Bestem solsikkens høyde y = y(t), gitt y(1) = 1.
b)
Finn avstanden AB uttrykt ved y, h og d.
c)
Setter h = 3 og d = 4. Hvor fort beveger skyggen i B seg når det er gått 5 uker?
Voksende solsikke
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
a)
[tex]\int \frac{1}{1+t^2} \rm{dt}[/tex]
[tex]u = 1+t^2 \\ \, \\ du = 2t \, \rm{dt}[/tex]
[tex]u=1+t^2 \\ \, \\ t^2 = u-1 \\ \, \\ t = \sqrt{u-1}[/tex]
[tex]\int\left(\frac{2\sqrt{u-1}}{u}\right)\rm{d}u[/tex]
[tex]2\cdot \int\left(\sqrt{u-1}\cdot \frac 1u\right)\rm{d}u[/tex]
Er jeg på sporet?
[tex]\int \frac{1}{1+t^2} \rm{dt}[/tex]
[tex]u = 1+t^2 \\ \, \\ du = 2t \, \rm{dt}[/tex]
[tex]u=1+t^2 \\ \, \\ t^2 = u-1 \\ \, \\ t = \sqrt{u-1}[/tex]
[tex]\int\left(\frac{2\sqrt{u-1}}{u}\right)\rm{d}u[/tex]
[tex]2\cdot \int\left(\sqrt{u-1}\cdot \frac 1u\right)\rm{d}u[/tex]
Er jeg på sporet?
Øver du til eksamen i matematikk? Se eksamensoppgaver med løsningsforslag.
Vil du ha egen webside, se her for å lage hjemmeside.
Vil du ha egen webside, se her for å lage hjemmeside.
helt riktig BMB...BMB skrev:Jeg kan ta b:
Parallellforskyver d en høyde y opp på h, og får da to formlike trekanter.
Ser at [tex]\frac{AB}{y}=\frac{d}{h-y}[/tex].
Altså er [tex]AB=\frac{dy}{h-y}[/tex]
Altså er:
[tex]AB=\frac{y\cdot d}{h-y}[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Det kan jeg ingenting om, så da får jeg la denne ligge. :]TrulsBR skrev:Her bør du nok heller prøve med en trigonometrisk substitusjon.
Øver du til eksamen i matematikk? Se eksamensoppgaver med løsningsforslag.
Vil du ha egen webside, se her for å lage hjemmeside.
Vil du ha egen webside, se her for å lage hjemmeside.
Du har jo (i ditt sjølstudium) nettopp begynt på integraler (3MX/R2 pensum).MatteNoob skrev:a)
[tex]\int \frac{1}{1+t^2} \rm{dt}[/tex]
[tex]u = 1+t^2 \\ \, \\ du = 2t \, \rm{dt}[/tex]
[tex]u=1+t^2 \\ \, \\ t^2 = u-1 \\ \, \\ t = \sqrt{u-1}[/tex]
[tex]\int\left(\frac{2\sqrt{u-1}}{u}\right)\rm{d}u[/tex]
[tex]2\cdot \int\left(\sqrt{u-1}\cdot \frac 1u\right)\rm{d}u[/tex]
Er jeg på sporet?
Ang. integralet over gjenkjennes det raskt som arctan(t).
Altså:
[tex]\int \frac{1}{1+t^^2}\,{\rm dt}\,=\,\arctan(t)\,+\,C[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Akkurat, men i 3MX boken min, så har de stykket opp integrasjonen over flere kapitler. Integrasjon (og derivasjon) av trigonometriske funksjoner forekommer ikke før i slutten av kapittelet om periodiske funksjoner. - Der har jeg ikke lest enda, bare sett at det er der. :]Janhaa skrev:Du har jo (i ditt sjølstudium) nettopp begynt på integraler (3MX/R2 pensum).
Øver du til eksamen i matematikk? Se eksamensoppgaver med løsningsforslag.
Vil du ha egen webside, se her for å lage hjemmeside.
Vil du ha egen webside, se her for å lage hjemmeside.
Da skal vel:Janhaa skrev:[tex]\int \frac{1}{1+t^^2}\,{\rm dt}\,=\,\arctan(t)\,+\,C[/tex]
[tex]y(1) = 1 \\ \, \\ arctan(1) + C = 1 \\ \, \\ C = 1-arctan(1) \\ \, \\ C = -44[/tex]
[tex]y(t)=arctan(t)-44[/tex]
Øver du til eksamen i matematikk? Se eksamensoppgaver med løsningsforslag.
Vil du ha egen webside, se her for å lage hjemmeside.
Vil du ha egen webside, se her for å lage hjemmeside.
Hmm...virker litt rotete (3MX boka di, mener jeg)!
La meg prøve og forklare deg matematisk hvorfor nevnte integral blir
arctan(t):
gitt funksjonen t = t(y) = tan(y) , da er y = arctan(t)
så deriverer vi begge sider i t = tan(y)
[tex]1 = (1 + \tan^2(y))\cdot y^,[/tex]
[tex]y^,=\frac{1}{\tan^2(y)+1}\,=\,\frac{1}{t^2+1}[/tex]
[tex]dy\,=\, \frac{{\rm dt}}{t^2+1}[/tex]
integrerer begge sider, og får:
[tex]\int {\rm dy}\,=\,\int \frac{{\rm dt}}{t^2+1}[/tex]
[tex]y\,=\,\int \frac{{\rm dt}}{t^2+1}\,=\,\arctan(t)\,+\,C[/tex]
La meg prøve og forklare deg matematisk hvorfor nevnte integral blir
arctan(t):
gitt funksjonen t = t(y) = tan(y) , da er y = arctan(t)
så deriverer vi begge sider i t = tan(y)
[tex]1 = (1 + \tan^2(y))\cdot y^,[/tex]
[tex]y^,=\frac{1}{\tan^2(y)+1}\,=\,\frac{1}{t^2+1}[/tex]
[tex]dy\,=\, \frac{{\rm dt}}{t^2+1}[/tex]
integrerer begge sider, og får:
[tex]\int {\rm dy}\,=\,\int \frac{{\rm dt}}{t^2+1}[/tex]
[tex]y\,=\,\int \frac{{\rm dt}}{t^2+1}\,=\,\arctan(t)\,+\,C[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Bra forsøk MathNoob! Nå skal vi sjå...MatteNoob skrev:Da skal vel:Janhaa skrev:[tex]\int \frac{1}{1+t^^2}\,{\rm dt}\,=\,\arctan(t)\,+\,C[/tex]
[tex]y(1) = 1 \\ \, \\ arctan(1) + C = 1 \\ \, \\ C = 1-arctan(1) \\ \, \\ C = -44[/tex]
[tex]y(t)=arctan(t)-44[/tex]
vi for oppgitt y(1) = 1 og setter inn:
[tex]y=y(1)=\arctan(1)\,+\,C\,=\,1[/tex]
slik at
[tex]C=1\,-\,{\pi\over 4}[/tex]
derfor er:
[tex]y(t)=\arctan(t)\,+\,1\,-\,{\pi\over 4}[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
@ Janhaa:
Ja, det er litt rotete, men jeg antar at de vil gi folk repetisjon av integraler senere i skoleåret, og at de vil innføre radianer før integrasjon og derivasjon av trig. funksjoner.
Takk for forklaringen, men ble usikker på hvordan
[tex]\frac{1}{\tan^2(y) + 1} = \frac{1}{t^2+1}[/tex]
Hvorfor kan du bare fjerne tangens helt her?
Angående:
[tex]y(t)=\arctan(t)-44[/tex]
Er ikke den også riktig, hvis vi bruker grader?
[tex]\frac{\pi}{4}\, \rm{rad} = 45\textdegree[/tex]
- Som sagt, er ikke ferdig med kapittelet om periodiske funksjoner.
Ja, det er litt rotete, men jeg antar at de vil gi folk repetisjon av integraler senere i skoleåret, og at de vil innføre radianer før integrasjon og derivasjon av trig. funksjoner.
Takk for forklaringen, men ble usikker på hvordan
[tex]\frac{1}{\tan^2(y) + 1} = \frac{1}{t^2+1}[/tex]
Hvorfor kan du bare fjerne tangens helt her?
Angående:
[tex]y(t)=\arctan(t)-44[/tex]
Er ikke den også riktig, hvis vi bruker grader?
[tex]\frac{\pi}{4}\, \rm{rad} = 45\textdegree[/tex]
- Som sagt, er ikke ferdig med kapittelet om periodiske funksjoner.
Øver du til eksamen i matematikk? Se eksamensoppgaver med løsningsforslag.
Vil du ha egen webside, se her for å lage hjemmeside.
Vil du ha egen webside, se her for å lage hjemmeside.
Jeg bare substituerer inn for t = tan(y) igjen. Se posten over!MatteNoob skrev:@ Janhaa:
Ja, det er litt rotete, men jeg antar at de vil gi folk repetisjon av integraler senere i skoleåret, og at de vil innføre radianer før integrasjon og derivasjon av trig. funksjoner.
Takk for forklaringen, men ble usikker på hvordan
[tex]\frac{1}{\tan^2(y) + 1} = \frac{1}{t^2+1}[/tex]
Hvorfor kan du bare fjerne tangens helt her?
Man bruker vanligvis radianer, ellers må der eksplisitt skrives grader. (Mener jeg da).Angående:
[tex]y(t)=\arctan(t)-44[/tex]
Er ikke den også riktig, hvis vi bruker grader?
[tex]\frac{\pi}{4}\, \rm{rad} = 45\textdegree[/tex]
- Som sagt, er ikke ferdig med kapittelet om periodiske funksjoner.
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Takk for hurting svar. Du har nok helt rett angående radianer :]
Øver du til eksamen i matematikk? Se eksamensoppgaver med løsningsforslag.
Vil du ha egen webside, se her for å lage hjemmeside.
Vil du ha egen webside, se her for å lage hjemmeside.
Ang. c)
dere som deriverte i vgs forumet har god sjanse til å løse denne.
Hint:
[tex]\text \frac{dx}{dt}\,=\,\frac{dx}{dy}\,\cdot \frac{dy}{dt}[/tex]
der x = AB
dere som deriverte i vgs forumet har god sjanse til å løse denne.
Hint:
[tex]\text \frac{dx}{dt}\,=\,\frac{dx}{dy}\,\cdot \frac{dy}{dt}[/tex]
der x = AB
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]