matematikk.net

En stang med lengde L ligger ligger på et rør som har et sirkelformet tverrsnitt med radius r, se fig. over. Kontaktpunktet mellom stanga og bakken har avstanden d fra kontaktpunktet mellom røret og bakken. Det andre endepunktet på stanga har høyden h over bakken. Finn h uttrykt ved L, r og d.

Fin oppgave

Begynner med å finne vinkelen dannet ved møtepunktet mellom stangen og bakken, kaller vinkelen theta:

[tex]tan\theta=\frac{2r}{d}[/tex] [tex]\rightarrow [/tex][tex]\theta=arctan(\frac{2r}{d})[/tex]

Deretter lager man et uttrykk for h av det man vet om vinkelen:

[tex]h=Lsin(arctan(\frac{2r}{d}))[/tex]

bartleif skrev:Fin oppgave
Begynner med å finne vinkelen dannet ved møtepunktet mellom stangen og bakken, kaller vinkelen theta:
[tex]tan\theta=\frac{2r}{d}[/tex] [tex]\rightarrow [/tex][tex]\theta=arctan(\frac{2r}{d})[/tex]
Deretter lager man et uttrykk for h av det man vet om vinkelen:
[tex]h=Lsin(arctan(\frac{2r}{d}))[/tex]

Bra forsøk, men oppgava er nok ikke så enkel!
Jeg er litt ustø på hånda, derfor er tegninga mi er ikke helt bra, etter noen solrike og fuktige dager...
Kanskje litt vanskelig å se at den vertikale avstanden mellom bakken og stanga er [symbol:ikke_lik] 2r. Ser du det? Avstanden du sikter til er 2r + x (der x er liten).
Slik at svaret ditt blir 4-5 % for lite...

Hmm, jeg tror kanskje du misforstår svaret mitt.

I første delen brukte jeg forholdet mellom d og diameteren til sirkelen for å finne vinkelen. Deretter brukte jeg vinkelen for å finne høyden i den trekanten som ikke har 2r som høyde. Skjønner?
En får her at: [tex]L>\frac{2r}{sin\theta}[/tex] hvis ikke er ikke h større enn 2r.

Skal være rett, finner også ved innsetting av tall at h blir større enn 2r hvis jeg velger en L verdi større enn hypotenusen i trekanten mellom diameteren og vinkelen.
Setter jeg at L= 7, r=2,d=5.

Så får jeg [tex]h=7sin(arctan(\frac{4}{5}))=4.37[/tex]

Sorry bartleif, stemmer ikke. Nå har jeg forstørra høyre side i opprinnelig bilde. Se figuren under.

http://bildr.no/view/223368

Da sees at:

[tex]\tan(\theta)=\frac{2r+x}{d}[/tex]

og

[tex]h=L\,\cdot \sin(\arctan(\frac{2r+x}{d}))[/tex]

du mister rett og slett den lille x'en...forstår du nå...?
Altså, motstående katet i trekanten du definerer er litt for kort!

Hva er x?

Ser det nå ja

Hmm, burde egentlig skjønt at den stangen ikke kom til å treffe diameteren. Da er ikke denne like enkel nei Kan prøve, men denne gangen blir det sikkert ikke noe løsning fra meg

Here goes:

[tex]\theta=arctan(\frac{2r+x}{d})[/tex] men har nå også at [tex]x=L\theta -r[/tex]

Setter dette inn i formelen for h:
[tex]h=Lsin(arctan(\frac{2r+(L\theta -r)}{d}))[/tex]

Er litt usikker nå, men tror dette skal være rett

Edit: Sluttet å tro det, litt "ulovligheter" på gang for å finne x

Hva er x?

[tex]\frac{h}{L}=\frac{2r+x}{\sqrt{(2r+x)^2+d^2}[/tex]

Så er det bare å omforme for å finne x. Det burde vel funke?

Edit: kanskje litt dumt å ha x uttrykt ved h

Kan jeg anta at hvis jeg trekker en vannrett linje (parallell med bakken) fra sentrum i sirkelen til der den treffer L, og den deler trekanten med 2r+x som m.k på 2, er da lengden av den linjen d/2? Virker logiskt for meg, men kan fortsatt være feil.
Jeg har hvertfall kommet fram til:

[tex]x=\frac{dtan\theta}{2}-r[/tex]

Og får:

[tex]h=Lsin(arctan(\frac{r+(\frac{dtan\theta}{2})}{d}))[/tex]

bartleif skrev:Kan jeg anta at hvis jeg trekker en vannrett linje (parallell med bakken) fra sentrum i sirkelen til der den treffer L, og den deler trekanten med 2r+x som m.k på 2, er da lengden av den linjen d/2? Virker logiskt for meg, men kan fortsatt være feil.
Jeg har hvertfall kommet fram til:
[tex]x=\frac{dtan\theta}{2}-r[/tex]
Og får:
[tex]h=Lsin(arctan(\frac{r+(\frac{dtan\theta}{2})}{d}))[/tex]

Ganske utfordrende trigonometrinøtt...

Nå har jeg ikke gått alle innlegga i sømmene. Bare satt inn passende verdier iforhold til fasiten (har bare svaret) og mitt løsningsforslag.
Forslaget ditt er ikke helt i samsvar med det riktige ennå. Men det nærmer seg bartleif...
Jeg prøver å omforme de ulike forslaga deres med det riktige, og sammenlikne.

Veit ikke om det hjelper særlig, men h = h(L, r, d) og inneholder ikke vinkler (sjøl om de er konstanter).

Sjøl løste jeg oppgava med en anna approach.

Hint til vinkelløsning: Finn to identiske trekanter og bruk [tex]\sin(2t)=\frac{\tan(t)}{1+\tan^2(t)}[/tex].

Her kommer et løsningsforslag til oppgava. Er ganske sikker på at hintet til mrcreosote også fører fram. Trur forøvrig relasjonen

[tex]\tan(2t)=\frac{2\tan(t)}{1-\tan^2(t)}[/tex]

funker. Har ikke prøvd disse!
-------------------------------------------------------

Finner først y vha pytagoras i store trekant (A), altså: L[sup]2[/sup] = (y + d)[sup]2[/sup] + h[sup]2[/sup]

[tex]y = \sqrt{L^2\,-\,h^2}\,-\,d[/tex]

Vel, deler den store trekanten (med areal A) i tre mindre trekanter (hhv A_1, A_2 og A_3) som vist på bildet under:

http://bildr.no/view/224152

Dvs:
[tex]A\,=\,A_1\,+\,A_2\,+\,A_3[/tex]

[tex]\frac{(y+d)h}{2}\,=\,\frac{(y+d)r}{2}\,+\,\frac{L\cdot r}{2}\,+\,\frac{h\cdot y}{2}[/tex]

dette gir

[tex]yr\,+\,dr\,+\,Lr\,=\,dh[/tex]

[tex]h\,=\,\frac{r(y\,+\,d\,+\,L)}{d}\,=\,\frac{r(\sqrt{L^2-h^2}\,+\,L)}{d}[/tex]

rydder, ordner og kvadrerer begge sider:

[tex](hd\,-\,rL)^2\,=\,r^2(L^2\,-\,h^2)[/tex]

[tex]h^2d^2\,-\,2hdrL\,+\,r^2L^2\,=\,r^2L^2\,-\,r^2h^2[/tex]

[tex]h(d^2+r^2)\,=\,2rdL[/tex]

[tex]h\,=\,\frac{2rdL}{d^2+r^2}[/tex]

Trekk ei hjelpelinje fra sentrum av røret (A) til møtepunktet mellom røret og stanga (B) og ei fra A til møtepunktet mellom røret og bakken (C). La røret berøre bakken i D. Da er B speilinga av D om AC, så trekantene ADC og ABC er like. Hvis vinkel DCA kalles t, har vi nå at [tex]\tan(t)=\frac rd[/tex] og [tex]\sin(2t)=\frac hL[/tex].

Brukes nå [tex]\sin(2t)=\frac{\tan(t)}{1+\tan^2(t)}[/tex] får man samme resultat som Janhaa.

mrcreosote skrev:Trekk ei hjelpelinje fra sentrum av røret (A) til møtepunktet mellom røret og stanga (B) og ei fra A til møtepunktet mellom røret og bakken (C). La røret berøre bakken i D. Da er B speilinga av D om AC, så trekantene ADC og ABC er like. Hvis vinkel DCA kalles t, har vi nå at [tex]\tan(t)=\frac rd[/tex] og [tex]\sin(2t)=\frac hL[/tex].
Brukes nå [tex]\sin(2t)=\frac{\tan(t)}{1+\tan^2(t)}[/tex] får man samme resultat som Janhaa.

Ja, enig mrcreosote - hvis du korrigerer din trigonometriske relasjon til;

[tex]\sin(2t)\,=\,\frac{2\tan(t)}{1+\tan^2(t)}[/tex]

(var nemlig ett lite 2-tall som plaga meg... ).

Det har du jaggu rett i - takk!