Sirklers skjæringspunkt

[espen180]

Nøtt på vgs-nivå:

To sirkler, A og B, befinner seg i edklidsk todimensjonalt rom.

Sirkel A har en radius på 2 med sentrum i origo.
Sirkel B har en radius på [tex]sin(\frac{\pi}{3})[/tex], ligger i første kvadrant og tangerer x-aksen og y-aksen.

[tex]sin(\frac{\pi}{3}[/tex] er i radianer.

Oppgaven:
Finn de to skjæringspunktene til sirklene ved regning.

[Karl_Erik]

Om jeg ikke har regnet helt feil burde det bli punktene ( (1/24)(19 sqrt(3) + sqrt(69)) , (1/24)(19 sqrt(3) - sqrt(69)) ) og ( (1/24)(19 sqrt(3) - sqrt(69)) , (1/24)(19 sqrt(3) + sqrt(69)) ), blir det ikke?

[Knuta]

Er det dette du mener?

[espen180]

Ja, det er det jeg mener. Så vidt jeg ser har du rett, Karl_Erik.

Du har skjønt det, Knuta.

[Knuta]

En ellipse er oppgitt:

[tex]x^2+4y^2=1[/tex]

Punktene A og B er ellipsens brennpunkter.
Punkt C ligger 1.5 fra A og 0.5 fra B.

Finn eksakte kordinater til Punkt C.

[espen180]

Jeg skal prøve, men jeg har aldri gjort en slik oppgave før.

Koordinatene til ellipsens brennpunkter A og B er henholdsvis [tex](-sin(\frac{\pi}{3}),0)[/tex] og [tex](sin(\frac{\pi}{3}),0)[/tex] (Jeg brukte Geogebra til å finne disse punktene, men resten er gjort for hånd). Disse har en avstand på [tex]2sin(\frac{\pi}{3)[/tex]. Vi bruker cosinussetningen og finner vinkelen til linja [tex]BC[/tex] på [tex]AB[/tex].

[tex]cos\angle ABC=\frac{2sin^2(\frac{\pi}{3})-1}{sin(\frac{\pi}{3})}[/tex]

Vi finner en parameterfremstilling for vektoren [tex]\vec{BC}[/tex].
Jeg bruker trogonometri for å finne x-verdien og pythagoras for å finne y-verdien i vektoren.

[tex]\vec{BC}_x=-\frac{2sin^2(\frac{\pi}{3})-1}{2sin(\frac{\pi}{3})} \\ \vec{BC}_y=\sqrt{0.25-\left(\frac{2sin^2(\frac{\pi}{3})-1}{2sin(\frac{\pi}{3})}\right)^2}=\sqrt{\frac{\frac12sin(\frac{\pi}{3})-2sin^2(\frac{\pi}{3})-1}{2sin(\frac{\pi}{3})}}=\sqrt{\frac{sin(\frac{\pi}{3})-4sin^2(\frac{\pi}{3})-2}{4sin(\frac{\pi}{3})}}[/tex]

Da finner vi posisjonsvektoren [tex]\vec{OC}[/tex].

[tex]\vec{OC}=\vec{OB}+\vec{BC}=\left[sin(\frac{\pi}{3}),0\right]+\left[-\frac{2sin^2(\frac{\pi}{3})-1}{2sin(\frac{\pi}{3})}\, , \, \sqrt{\frac{sin(\frac{\pi}{3})-4sin^2(\frac{\pi}{3})-2}{4sin(\frac{\pi}{3})}}\right] \\ \vec{OC}=\left[sin(\frac{\pi}{3})-\frac{2sin^2(\frac{\pi}{3})-1}{2sin(\frac{\pi}{3})}\, , \, \sqrt{\frac{sin(\frac{\pi}{3})-4sin^2(\frac{\pi}{3})-2}{4sin(\frac{\pi}{3})}}\right][/tex]

Siden posisjonsvektoren har samme verdier som koordinatene til punktet, kan vi si at punktet C ligger i:

[tex]C=\left(sin(\frac{\pi}{3})-\frac{1}{4sin(\frac{\pi}{3})}\, , \, \sqrt{\frac{sin(\frac{\pi}{3})-1}{4sin(\frac{\pi}{3})}}\right)[/tex]


Sånn. Dette var anstrengende. Kjenner meg litt stolt over at jeg klarte å holde tunga rett i munnen gjennom det der. Nå jenstår det å se om jeg kom i nærheten av svaret.

EDIT:
Jeg tror det gikk skeis. Kan noen si meg hvor jeg sporet av?

EDIT2:

Jeg merket av jeg hadde gjort en feil da jeg lagde [tex]\vec{OB}[/tex]. Jeg fikset det og forkortet svaret. X-posisjonen ble riktig nå, men y-posisjonen er feil. Hva har jeg gjort galt?

[Janhaa]

Er [tex]\,\,C=({1\over \sqrt{3}},\,{1\over \sqrt{6}})[/tex]

[Knuta]

du sporet av i [tex]\vec{BC}_y[/tex] det ligger feil i utregningen.

Tips, bruk substitusjon. S i stedet for sin( [symbol:pi] / 3) Blir lettere å holde rede på. forøvrig er sin( [symbol:pi] / 3) = [symbol:rot] 3 / 2

[Knuta]

Er [tex]\,\,C=({1\over \sqrt{3}},\,{1\over \sqrt{6}})[/tex]

Ser sånn ut.

[espen180]

Ser nå feilen, og retter opp.

Prøvde å forkorte, men det ble bare rot, så jeg setter

[tex]C=\left(sin(\frac{\pi}{3})-\frac{1}{4sin(\frac{\pi}{3})}\, , \, \sqrt{0.25-\left(\frac{2sin^2(\frac{\pi}{3})-1}{2sin(\frac{\pi}{3})}\right)^2}\right)[/tex]

Det stemte ihvertfall da jeg sjekket.

[Karl_Erik]

Vi forestiller oss at vi legger ellipsen i et koordinatsystem og lar sentrum i ellipsen ligge i origo. Da ser vi relativt lett av likningen at ellipsens brennpunkter blir (+-(3^0.5)/2 , 0). Vi har også fått oppgitt avstanden fra brennpunktene til punktet C, og hvis punktet C har koordinatene (x,y) kan vi da sette opp likningene

sqrt(((sqrt 3)/2 - x)^2 +y^2) = 1.5
sqrt((-(sqrt 3)/2 - x)^2 +y^2) = 0.5

som har løsningene x=1/(sqrt(3)) og y = +-1/(sqrt(6)) . Siden vi ser på tegningen at punktet C ligger over x-aksen blir de eksakte koordinatene til punktet C

( 1/(sqrt 3) , 1/(sqrt 6) )

EDIT: Ble rimelig sent, ja.

[espen180]

Uff, jeg tok visst en tungvint vei ja.

[Janhaa]

Ser nå feilen, og retter opp.
Prøvde å forkorte, men det ble bare rot, så jeg setter
[tex]C=\left(sin(\frac{\pi}{3})-\frac{1}{4sin(\frac{\pi}{3})}\, , \, \sqrt{0.25-\left(\frac{2sin^2(\frac{\pi}{3})-1}{2sin(\frac{\pi}{3})}\right)^2}\right)[/tex]
Det stemte ihvertfall da jeg sjekket.

benytt at[tex]\,\,\sin({\pi\over 3})={\sqrt3\over 2}[/tex]

da kan koordinaten til C skrives betraktelig enklere.

[Knuta]

Figuren viser funksjonen [tex]f(x)=\frac{1}{\sin(x)} [/tex] i sort samt dens deriverte i rødt. Punkt A ligger i krysningspunktet der x>0 og x< [symbol:pi]

Finn kordinatene i A og oppgi dens eksakte verdier.

[Janhaa]

[tex]f(x)\,=\,f^,(x)[/tex]

[tex]\frac{1}{\sin(x)}\,=\,-\frac{\cos(x)}{\sin^2(x)}[/tex]

[tex]\tan(x)=-1[/tex]

[tex]x=-\frac{\pi}{4}\,+\,\pi =\frac{3\pi}{4}[/tex]
[tex]y=\sqrt2[/tex]

[tex]A=(\frac{3\pi}{4},\,\sqrt2)[/tex]