matematikk.net

Et rektangel er innskrevet i en rettvinklet trekant der lengden på katetene er 30 og 40. Vi kaller siden til rektangelet som ligger på hypotenusen x. Se figuren:



På figuren er AC=30, BC=40 og FG=x

Finn x-verdien som gir rektangelet størst areal.

Ved å studere hvordan firkanten deler trekanten ser man at forholdene mellom sidene i de tre nye trekantene er de samme som i den store. Dermed:
[tex]f(x)=x\left((30-\frac{3x}{5})\cdot\left(sin(arctan(\frac43))\right)\right) \\ f(x)=\frac45\left(30x-\frac{3x^2}{5}\right) \\ f(x)=24x-\frac{12x^2}{25} \\ f^\prime(x)=24-\frac{24}{25}x \\ 24-\frac{24}{25}x=0 \\ x=25[/tex]

Rektangelet har størst areal når x=25.

espen180 skrev:[tex]f(x)=x\left((30-\frac{3x}{5})\cdot\left(sin(arctan(\frac43))\right)\right)[/tex]

Du får kudos for flott notasjon!

Selvfølgelig korrekt...

espen's metode er sexy den.

Men en alternativ måte er å finne linja l gjennom B og C,
[tex]y_l = -0,75x + 37,5[/tex]
slik at
E = (x, y) = (x, -0.75x+37.5)
da er
A(rektangel) = x*y = x*(-0.75x+37.5) = -0.75x[sup]2[/sup] + 37.5x

[tex]A^, = -1.5x + 37.5=0[/tex]
[tex]x = 25[/tex]