matematikk.net

Gitt tre punkter [tex]A=(-6,7), \, B=(2,-8), \, C=(-3,-4)[/tex], finn ved regning en sirkel som går gjennom alle tre punktene. Uttrykk sirkelen ved en funksjon.

Oppgi svaret nedtil 4 desimaler.


Oppfølger:

Gitt tre punkter [tex]A=(2,2,-4), \, B=(4,-3,-2), \, C=(12,-6,1)[/tex], finn ved regning kuleflaten som går gjennom alle tre punktene. Uttrykk kuleflaten ved en funksjon.

Oppgi svaret ned til 4 desimaler.

En kuleflate er ikke entydig bestemt av tre punkter.

Fin oppgave.

La sentrum av sirkelen i den øverste oppgaven være P(x,y).

Løs likningsettet du får ved å løse [tex]|\vec{AP}|=|\vec{BP}|=|\vec{CP}|[/tex] og du vil oppnå at P har koordinatene [tex](\frac{713}{86},\frac{429}{86})[/tex]
Finner radiusen ved å finne f.eks [tex]|\vec{AP}|=\frac{17\sqrt{5330}}{86}[/tex]
Da har sirkelen om P funksjonen [tex](x-\frac{713}{86})^2+(y-\frac{429}{86})^2=(\frac{17\sqrt{5330}}{86})^2[/tex]



På den andre gjør vi tilsvarende, men likningesettet vi får har ingen spesifikk løsning. Derfor parametriserer vi den, og oppnår denne sammenhengen:

[tex]x_0=t[/tex]
[tex]y_0=\frac{299}{10}-\frac{14}{5}t[/tex]
[tex]z_0=\frac{2}{5}t-\frac{137}{10}[/tex]

Vi ser altså at sentrum til sfæren kan ligge langs denne linjen i rommet. Vi finner radiusen:
[tex]|\vec{AP}|=\sqrt{9t^2-168t+\frac{1753}{2}}[/tex]

Da blir funksjonen til sfæren:

[tex](x-t)^2+(y+\frac{14}{5}t-\frac{299}{10})^2+(z+\frac{137}{10}-\frac{2}{5}t)^2=9t^2-168t+\frac{1753}{2}[/tex]

Brøkene er reduserte.

PS: Ingen liker desimaler i slike oppgaver, de er kun nyttige hvis svaret har en praktisk betydning.

Ny oppgave:

La oss si du kan ta en prøve i et punkt hvor som helst i planet. For hver prøve får du en verdi som sier hvor langt det er til et ukjent punkt.

Hvor mange prøver må man generelt ta for å finne punktet entydig, og hvilke restriksjoner må du tillegge prøvene du tar (altså hvor kan/kan ikke prøvene ligge for at en prøve skal gi relevant informasjon)?

Finnes det tilfeller hvor man kan finne det ved færre prøver?

Gjenta, men nå er prøvene og det ukjente punktet i rommet.

Svart ditt på oppgave 1 er riktig, Jarle10, men jeg kan ikke kontrollerer svaret ditt på oppgave 2.

TrulsBR skrev:En kuleflate er ikke entydig bestemt av tre punkter.

Kan du gi et eksempel? Er dette "det samme" som at en sirkel ikke er ntydig bestemt av to punkter? Da trenger man fire punkter, ikke sant?

espen180 skrev:

TrulsBR skrev:En kuleflate er ikke entydig bestemt av tre punkter.

Kan du gi et eksempel? Er dette "det samme" som at en sirkel ikke er ntydig bestemt av to punkter? Da trenger man fire punkter, ikke sant?

Hvis man har tre punkter i rommet så vil jo disse definere et plan (vi antar at de ikke ligger på linje).
Da vil det være en sirkel i dette planet som er entydig definert av de tre punktene. Denne sirkelen må jo tolkes som et tverrsnitt gjennom kula det er snakk om. Så kan du finne ei kule som vil ha "ekvator" med dette tverrsnittet, men du kan jo tenke deg at ved å øke radien så kan en likevel få kula gjennom tverrsnittet slik at den passer med de tre punktene.

Det blir som å legge en bowlingball oppi et sirketformet stativ (som en jernring i horisontalplanet) - det finnes en minste ball som passer oppi, men alle som er større enn denne ballen, vil jo kunne passe i stativet.

Det betyr at det finnes et uendelig antall sfærer som er slik at de tre punktene ligger på overflaten dens. I likningen i svar nr 2 kan du sette hvilken som helst verdi inn for t, og du vil ha en sfære som går gjennom de tre punktene.

Som sErik sier så finnes den minste sfæren som har de tre punktene på overflaten. Kan du finne denne i oppg 2? Hint: Den minste sfæren har også den minste radiusen (radiusen er uttrykt ved t)

PS: du kan kontrollere oppgaven ved å sette inn for verdiene x,y og z for hvert punkt A,B og C.

Det finnes bare èn trekant i de tre punktene. Denne trekanten kan bare være innskrevet i èn sirkel. Altså kan det bare være èn sirkel som passer.

Det er riktig, men nå var det ikke en sirkel som skulle passe, men en kule.

espen180 skrev:Gitt tre punkter [tex]A=(-6,7), \, B=(2,-8), \, C=(-3,-4)[/tex], finn ved regning en sirkel som går gjennom alle tre punktene. Uttrykk sirkelen ved en funksjon.
.

kan også bruke "gamlemetoden" hvor sentrum i sirkelen er (m, n)

[tex](-6-m)^2\,+\,(7-n)^2\,=\,R^2[/tex]

[tex](2-m)^2\,+\,(-8-n)^2\,=\,R^2[/tex]

[tex](-3-m)^2\,+\,(-4-n)^2\,=\,R^2[/tex]

3 likninger med 3 ukjente
får samma resultat som Jarle. Men Jarle's metode er forøvrig bedre synes jeg.