Sliter VIRKELIG med en konstruksjonsoppgave

[monkeyface]

Hallo

Da har jeg prøvd i vidregående-kategorien, og fått svaret at den er så vanskelig (vanskeligere) som jeg trodde...

[quote]
Nå har hele klassen, og læreren vår (og folket i vidregående-kategorien) prøvd seg på en konstruksjons-oppgave. Ingen har klart den. Gjør dere?

(Oppgave 660 i matematikk R1)

Konstruér trekant ABC der AB=10, BC=12, og midtpunktet D på AC ligger slik at BD=7. (Hint: trekk en hjelpelinje gjennom D og midtpunktet på AB)

Lykke til

(skriv forklaring på hvordan du gjør det)

[monkeyface]

Viser til følgende side: http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... hp?t=18294

[groupie]

Ettersom oppgaven påpeker at man skal konstruere ser jeg for meg at man må frem med passeren.

Tegn opp AB, fra B slå en sirkel med radius 12, deretter en med radius 7. Finn så en linje som går fra A som tangerer sirkelen med radius 7 og går opp til sirkelen med radius 12. Fra dette punktet trekker du ned en linje til B. Denne linjen vil ha lengde 12.

Gjorde dette uten passer og fikk et greit nok svar. Kan dette virke mon tro?

[Dinithion]

Jeg håper ikke det er så enkelt. Da har jeg i tillfelle løst oppgaven for lengesiden
Jeg laget denne tegningen for å fundere på oppgaven:

http://bildr.no/view/186883

(Dæven, stort bilde :/)

[monkeyface]

Ja, det var noe av det første jeg også tenkte på, men jeg mener at tangenten ikke blir midt på linja AC...

Vi har forresten lært om omsirkel, innsirkel og tyngdepunkt... er ikke noe av dette som kan brukes?

[fbhdif]

poster posten min her også, så noen kan av/bekrefte:


Her må det vel være noe feil?

Lar vi AD være punktet der BD=7cm og 2AD=AC, kan vi kalle lengden AD for a (for enkelhetsskyld )

Da kan vi tenke oss to trekanter:

Trekant ABD og DBC.

Trekant ABD har AB=10 cm, BD=7cm og AD=a
Trekant DBC har DB = 7cm, BC=12cm og DC=a

Så kaller vi vinkelen ABD for u og DBC for v. (da skulle u+v altså være lik vinkel ABC)

Sinussetningen sier at a/sin u = a/sin v
Følgelig er sin u = sin v og vinkel u lik vinkel v (jada, +n2pi..)
Vi kaller derfor vinkel v for u, v=u.

Bruker vi cosinussetningen kan vi få følgende likninger:

a^2 = 10^2 + 7^2 - 2*10*7*cos u
a^2 = 7^2 + 12^2 -2*7*12*cos u
<=>
10^2 + 7^2 - 2*10*7*cos u=7^2 + 12^2 -2*7*12*cos u

cos u = 11/7, som aldri kan stemme..

[Dinithion]

fbhdif:

Mulig jeg missforstår deg, men vinkel ABD = vinkel ABC, derfor kan ikke ABD+ DBC = ABC.

[Knuta]

1. Tegn en linje
2. Sett av punkt A og Punkt B på linja.
3. konstruer 3 sirkler s1 (radius 7), s2 (radius 10) og s3 (radius 12) med B i senter.
4. Sett av punkt P1 og P3 der s3 krysser linja.
5. Finn P2 som er midtpunktet til P1 og A
6. Finn P4 som er midtpunktet til P3 og A
6. Finn P5 som er midtpunktet til P2 og P4.
7. Konstuer en sirkel s4 som går igjennom P2 og P4 med P5 som senter
8. Punkt D ligger i krysningspunktet sirkel s1 og s4.
9. Tegn en linje gjennom A og D.
10. Denne linjen vil krysse sirkel s3, og der ligger punkt C.
11. Tegn inn linjestykkene mellom punktene A,B,C og du har trekanten.


I ettertid ser jeg at jeg kunne ha sløyfet sirkel s2 og midpunktet A og B er det samme som P2 og P4. men det er vel å betegne som pirk.

hvis du tegner inne et nytt punkt på s3 så vil alltid midpunktet mellom det og A falle på sirkel s4.

[monkeyface]

jøss... takk

[Dinithion]

TADA! I dag satt jeg å repeterte vektorregning før eksamen, og da gikk det jammen opp et lys for meg. Jeg vet ikke om vektorregning er pensum for dere, så det kan kanskje virke noe gresk. Uansett, dersom du har interesse av løsningen matematisk så blir den slik (Så kan du briefe for læreren din ;P):

Jeg lager to sirkler, en med diameter 7 og en med diameter 12, begge med sentrum i 10 på x-aksen. Dersom du har sett på tegningene, skjønner du kanskje hvorfor.

Siden [tex]\vec{AD} = \frac{1}{2}\vec{AC}[/tex], så vil vi at en avstand x fra A mot C skal ligge på sirkelen S1. Vi vil også at 2x fra A mot C, skal være på sirkelen S2. Dermed setter vi opp likningen:

[tex]S_1 = (x - 10)^2 + y^2 = 49[/tex]

[tex]S_2 = (2x - 10)^2 + (2y)^2 = 144[/tex]

Da har vi to likninger med to ukjente, som vi løser på kjent måte.

[tex](x - 10)^2 + y^2 = 49 \Rightarrow y = \sqrt{49-(x^2-20x+100)} = \sqrt{-x^2+20x-51}[/tex]

Substituerer y i S2.

[tex](2x-10)^2 + (2\sqrt{-x^2+20x-51})^2 = 144[/tex]

[tex](2x-10)^2 + 4(-x^2 + 20x -51) = 144[/tex]

[tex]\cancel{4x^2}-\cancel{40x}+100 \cancel{-4x^2}+ \cancel{80}40x - 204 = 144[/tex]

[tex]40x - 104 = 144 \Rightarrow 40x = 248 \Rightarrow x = 6.2[/tex]

Ok. Da har vi funnet ut x verdien for D, da er resten plankekjøring. Bruker formelen for den første S1 til å finne Y verdien av D.

[tex](6.2 - 10)^2 + y^2 = 49 \Rightarrow y^2 = 49-14.44 \Rightarrow y = 5.88[/tex]

Da vet vi at punktet D(6.2, 5.88) som gir:

[tex]\vec{AD} = [6.2, 5.88]\, og \vec{AC} = 2\vec{AD} \Rightarrow \vec{AC} = [12.4, 11.76][/tex]

Da kan vi finne lengdene til den siste sidene i trekanten.

[tex]b = |\vec{AC}| = \sqrt{12.4^2 + 11.76^2} = 17.09[/tex]

Easy as a charm!

[monkeyface]

er både denithion og knuta sine svar riktige?

Jeg takker virkelig for hjelpa må se litt mer på det...

[Charlatan]

Det siste er da ingen konstruksjon.

[Dinithion]

Nei, det er ingen konstruksjon, men jeg synes oppgaven var gøy, så jeg hadde lyst å gjøre den matematisk og postet svaret for spesielt interesserte