Periodisk + periodisk = identiteten?
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Fins det periodiske funksjoner f og g fra de reelle talla og inn i seg sjøl som er slik at f(x)+g(x)=x for alle reelle x?
-
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Med periodisk menes at det fins en p så f(x+p)=f(x) for alle x. (Den minste slike p kalles perioden.)
Edit: Da er vi enige!
Edit: Da er vi enige!
Nei, og det er vel mulig å vise ved å skrive om funksjonallikningen som f(x) = x-g(x) - der venstresiden er en periodisk funksjon, og høyresiden er summen av en periodisk og aperiodisk funksjon, og dermed ikke er periodisk.
-
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Hvorfor kan ikke summen av en periodisk og en ikke-periodisk funksjon være periodisk?
Anta at høyresiden også er periodisk...
Det må finnes en periode d>0 slik at
[tex](x+d) - g(x+d) = x - g(x)[/tex]
[tex]d - g(x+d) = -g(x)[/tex]
[tex]g(x+d) - g(x) = d[/tex]
Men hvis g(x) er periodisk med periode d så må [tex]g(x+d) = g(x)[/tex] og da vil den siste likninga gi at d = 0, en selvmotsigelse.
Ble det riktig?
Det må finnes en periode d>0 slik at
[tex](x+d) - g(x+d) = x - g(x)[/tex]
[tex]d - g(x+d) = -g(x)[/tex]
[tex]g(x+d) - g(x) = d[/tex]
Men hvis g(x) er periodisk med periode d så må [tex]g(x+d) = g(x)[/tex] og da vil den siste likninga gi at d = 0, en selvmotsigelse.
Ble det riktig?
et lignende beviset gjelder for alle ikke-perdiodiske funksjoner, men jeg fant ut i stad at det man beviser er at denne nye funksjonen ikke har samme periode som den man har i utgangspunktet. Beviset sier ikke at perioden ikke kan være en annen.
(altså: hvis g(x) har periode d, må ikke nødvendigvis g(x)+m(x) har periode d hvis g(x)+m(x) er periodisk (hvor m(x) er en ikke-periodisk funksjon), så beviset holder ikke helt ut)
Kan også snekre et bevis som sier at en funksjon med en rasjonal periode + en ikke-periodisk funksjon ikke kan være en funksjon med rasjonal periode. Det blir verre med irrasjonale perioder (fordi ingen heltall kan ganges med perioden for å få et helt tall)
(altså: hvis g(x) har periode d, må ikke nødvendigvis g(x)+m(x) har periode d hvis g(x)+m(x) er periodisk (hvor m(x) er en ikke-periodisk funksjon), så beviset holder ikke helt ut)
Kan også snekre et bevis som sier at en funksjon med en rasjonal periode + en ikke-periodisk funksjon ikke kan være en funksjon med rasjonal periode. Det blir verre med irrasjonale perioder (fordi ingen heltall kan ganges med perioden for å få et helt tall)
-
- Cantor
- Innlegg: 142
- Registrert: 29/10-2007 22:02
Det er ingen grunn til å anta at f og g har samme periode, som du har gjort her.sEirik skrev:Anta at høyresiden også er periodisk...
Det må finnes en periode d>0 slik at
[tex](x+d) - g(x+d) = x - g(x)[/tex]
[tex]d - g(x+d) = -g(x)[/tex]
[tex]g(x+d) - g(x) = d[/tex]
Men hvis g(x) er periodisk med periode d så må [tex]g(x+d) = g(x)[/tex] og da vil den siste likninga gi at d = 0, en selvmotsigelse.
Ble det riktig?
Vedr. oppgaven: antar vi utvalgsaksiomet (aka Axiom of Choice)? Mener jeg har et ikke-konstruktivt bevis for at dette er mulig, men det bruker utvalgsaksiomet.
Vil det være tilsvarende med dette argumentet?
La a og b være relle tall. Da kan vi få differansen [tex]|n \cdot a-k \cdot b|[/tex], hvor n og k er heltall, til å bli vilkårlig liten ved å velge høye nok heltall.
Det blir vel som å si at brøken m/n kan lages vilkårlig lik ethvert irrasjonalt tall ved å velge n og m høye nok.
I så fall kan man lage et bevis for dette her for alle perioder.
La a og b være relle tall. Da kan vi få differansen [tex]|n \cdot a-k \cdot b|[/tex], hvor n og k er heltall, til å bli vilkårlig liten ved å velge høye nok heltall.
Det blir vel som å si at brøken m/n kan lages vilkårlig lik ethvert irrasjonalt tall ved å velge n og m høye nok.
I så fall kan man lage et bevis for dette her for alle perioder.
-
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Det må du gjerne anta. Og jeg forventer vel ikke akkurat et eksplisitt funksjonsuttrykk, nei.Bogfjellmo skrev:Vedr. oppgaven: antar vi utvalgsaksiomet (aka Axiom of Choice)? Mener jeg har et ikke-konstruktivt bevis for at dette er mulig, men det bruker utvalgsaksiomet.