Trekant i et koordinatsystem

[espen180]

Tre funksjoner [tex]f(x)[/tex], [tex]g(x)[/tex] og [tex]h(x)[/tex] danner en trekant i et koordinatsystem.

[tex]f(x)=x-\frac{1}{2}[/tex]
[tex]g(x)=-2x+3[/tex]
[tex]h(x)=3x-1[/tex]

1) Finn skjæringspunktene ved regning
2) Finn arealet av trekanten ved regning

[Emilga]

Sett f(x) = g(x) for å få ett skjæringspunkt. Sett f(x) = h(x) for å finne det andre, og sett g(x) = h(x) for å finne det siste punktet.

[espen180]

Det der holder ikke, Emomilol. Du har bare vist hvordan man finner x-verdien til skjæringspunktene.

[=)]

og så sette dem inn i de respektive funksjonene da.

[Dinithion]

Jeg har ikke dobbelsjekket om det er rikitg, jeg er ganske sulten og har lyst på mat. Det kan ha gått fort i svingene, men svaret virker ikke urimelig. Latex er også ganske slitsomt, så jeg tok ikke med alle mellomregninger.

[tex]f(x) = g(x) = x - \frac{1}{2} = -2x + 3 \Rightarrow x = \frac{7}{6}[/tex]

[tex]f(x) = g(x) = x - \frac{1}{2} = 3x - 1 \Rightarrow x = \frac{1}{4}[/tex]

[tex]g(x) = h(x) = -2x + 3 = 3x -1 \Rightarrow x = \frac{4}{5}[/tex]

[tex]A(\frac{7}{6},f(\frac{7}{6})) = A(\frac{7}{6},\frac{2}{3})[/tex]

[tex]B(\frac{1}{4},f(\frac{1}{4})) = B(\frac{1}{4},-\frac{1}{4})[/tex]

[tex]C(\frac{4}{5},g(\frac{4}{5})) = C(\frac{4}{5},\frac{7}{5})[/tex]

[tex]\vec{BA} = [\frac{11}{12},\frac{11}{12}]\,\, |\vec{BA}| = 1,296[/tex]

[tex]\vec{BC} = [\frac{11}{20},\frac{33}{20}]\,\, |\vec{BC}| = 1,739[/tex]

[tex]\angle BCA = arccos (\frac{\vec{BC} \cdot \vec{BA}}{|\vec{BC}| \cdot |\vec{BA}|}) = arccos(\frac{2,02}{2,254}) = 26,3[/tex]

[tex]A = \frac{1}{2} 1,296 \cdot 1,739 \cdot sin 26,3 = 0,50[/tex]

[Vektormannen]

Brukte vektorer jeg også, og kom frem til det samme arealet, og geogebra er enig. Men tror du har regnet [tex]g(\frac{4}{5})[/tex] ut feil. Det skal vel bli 7/5.

[Dinithion]

Bra oppservert. Det var bare feil avskrift fra kladdearket

[Olorin]

Ved integrasjon fikk jeg arealet til å bli [tex]\frac{403}{720}=0.56[/tex]

edit: Det var som pokker

[espen180]

Riktig, Dinithion og Vektormannen. Arealet er 0.50417.

Personlig brukte jeg trigonometri da jeg lagde oppgaven. Bra jobba.

[mrcreosote]

Dere kan jo prøve å generalisere:

Gitt 3 linjer

r(x)=ax+b
s(x)=cx+d
t(x)=ex+f

der ingen er parallelle (dvs [tex]a\neq c\neq e\neq a[/tex]), finn arealet til den endelige trekanten disse 3 linjene definerer.

Noen tips (som du kan ta for gitt eller prøve å vise sjøl om du vil): En trekant i planet med hjørner [tex](x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)[/tex] har areal

[tex]\frac12|\left| \begin{array}{ccc}&x_1&y_1&1\\&x_2&y_2&1\\ &x_3&y_3&1\\ \end{array}\right| | = \frac12|x_1y_2-x_2y_1+x_2y_3-x_3y_2+x_3y_1-x_1y_3|[/tex]

Jeg utelukker ikke griseregning her, men svaret som kommer til slutt i slikt har en tendens til å bli overraskende pent.