Trigonometriske rekker

[Charlatan]

Finn ut om rekkene konvergerer eller ikke:

[tex](1) \ \sum^{\infty}_{n=1} \sin(\frac{1}{n}) \\ (2) \ \sum^{\infty}_{n=1} (1-\cos(\frac{1}{n})) \\ (3) \ \sum^{\infty}_{n=1} \tan^2(\frac{1}{n})[/tex]

n måles i radianer.

[daofeishi]

[tex]\sum^{\infty}_{n=1} \sin(\frac{1}{n})[/tex]
Grensesammenlikning med divergerende p1-rekke:
[tex]\lim _{n \to \infty} \frac{\sin( \frac 1 n)}{\frac 1 n} = 1[/tex]
Dette viser at rekka divergerer


[tex]\sum^{\infty}_{n=1} (1-\cos(\frac{1}{n})) = 2 \sum^{\infty}_{n=1} \sin^2(\frac{1}{2n})[/tex]
Grensesammenlikning med konvergent p2-liknende-rekke
[tex]\lim _{n \to \infty} \frac{\sin^2( \frac{1}{2n})}{\frac{1}{4n^2}} = 1[/tex]
Dette viser at rekka er konvergent


[tex]\sum^{\infty}_{n=1} \tan^2(\frac{1}{n}) = \sum^{\infty}_{n=1} \frac{\sin^2 (\frac 1 n)}{\cos^2(\frac 1 n)}[/tex]
Grensesammenlikning med konvergent p2-rekke
[tex]\lim _{n \to \infty} \frac{\sin^2 (\frac 1 n)}{\frac{1}{n^2}\cos^2(\frac 1 n) } = 1[/tex]
Dette viser at rekka er konvergent.

[Charlatan]

riktig, var jo enkelt med de testene.

Tenkte jeg ikke på.

[mrcreosote]

Prøvde å finne summen av den rekka med cos, men endte bare opp med et nytt uttrykk:

[tex]\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{(2n)!} \zeta(2n)[/tex]

Kanskje vi har noen tallteoretikere her som kan evaluere den? Den konvergerer i alle fall ganske greit.