3 kvadrater

[mrcreosote]

De 3 positive heltalla a, b og c er parvis koprime og oppfyller dessuten [tex]\frac1a+\frac1b=\frac1c[/tex]. Vis at a+b, a-c og b-c alle er kvadrater.

[Bogfjellmo]

Er du sikker på at de skal være parvis koprime?

Multipliserer med [tex]abc[/tex] på begge sider, og får

[tex](a+b)c = ab[/tex]

Altså c er en faktor i ab. Men a og b er koprime, så c må være en faktor i enten a eller b. Men c er koprim med både a og b, så c=1.

[tex]\frac 1a + \frac 1b = 1[/tex]

Men da må [tex]a=b=2[/tex] motsigelse.

[mrcreosote]

Nei, beklager. Vi nøyes med at det ikke fins noen felles faktor i a, b og c. Takk for den.