Her kommer en påskenøtt som er hard for de fleste...
[tex]x, y, z \geq 0[/tex] og [tex]x+y+x=3[/tex]
Vis at da stemmer:
[tex]x^2+y^2+z^2+xyz \geq 4[/tex]
Hard nøtt
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Rett nok en kjedelig løsning, men det holder å erstatte z med 3-x-y i funksjonen som skal minimeres, derivere og sjekke randa og se at minimumet 4 er der x=y=z=1.
Jo takk 
Om man bruker Jensens her tror jeg det blir vanskelig. Når man bruker jensens er det som regel slik at man kan manipulere ulikheten til at den ene siden kan uttrykkes som:[tex]f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n)[/tex] og den andre som en konstant, (her var [tex]x_i[/tex] variablene i funksjonen. Jensens er spesielt effektiv om man vet om denne funksjonen er konveks/ konkav i et gitt intervall og om man vet summen av [tex]x_i[/tex])
PS: for de som lurer på hva Jensens ulikhet går ut er det bare å google
Joda jeg har en annen løsning som stortsett er basert på AM-GM (og med litt kunnskaper om symmetriske funksjoner)
(Hadde vært kjekt med en spoilerfunksjon her på forumet, legger snart ut løsningen min... kan skrive den i hvitt og i liten skriftstørrelse)
Om man bruker Jensens her tror jeg det blir vanskelig. Når man bruker jensens er det som regel slik at man kan manipulere ulikheten til at den ene siden kan uttrykkes som:[tex]f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n)[/tex] og den andre som en konstant, (her var [tex]x_i[/tex] variablene i funksjonen. Jensens er spesielt effektiv om man vet om denne funksjonen er konveks/ konkav i et gitt intervall og om man vet summen av [tex]x_i[/tex])
PS: for de som lurer på hva Jensens ulikhet går ut er det bare å google
Joda jeg har en annen løsning som stortsett er basert på AM-GM (og med litt kunnskaper om symmetriske funksjoner)
(Hadde vært kjekt med en spoilerfunksjon her på forumet, legger snart ut løsningen min... kan skrive den i hvitt og i liten skriftstørrelse)
Ok her kommer løsningen min:
[tex]x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)=9-2(xy+yz+zx)[/tex]
Derfor er ulikheten ekvivialent med:
[tex]5 \geq 2(xy+yz+zx)-xyz[/tex]
Av AM-GM har vi at:
[tex]1= (\frac{(2-x)+(2-y)+(2-z)}{3})^3 \geq (2-x)(2-y)(2-z)= 8-4(x+y+z)+2(xy+yz+zx)-xyz[/tex]
Dette gir den ønskede ulikheten. [/color]
[tex]x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)=9-2(xy+yz+zx)[/tex]
Derfor er ulikheten ekvivialent med:
[tex]5 \geq 2(xy+yz+zx)-xyz[/tex]
Av AM-GM har vi at:
[tex]1= (\frac{(2-x)+(2-y)+(2-z)}{3})^3 \geq (2-x)(2-y)(2-z)= 8-4(x+y+z)+2(xy+yz+zx)-xyz[/tex]
Dette gir den ønskede ulikheten. [/color]