matematikk.net

I diagrammet over har vi en trekant ABC. Vinkelen [tex]\beta[/tex] er 81,87 grader. Linjen [tex]d[/tex] danner en normal på siden [tex]BC[/tex].
Vinkelen [tex]\gamma[/tex] (på C) er 60,24 grader.


Finn vinkelen CAD, vis hva ved regning hva som skjer med [tex]\alpha[/tex] når [tex]\lim_{d \to \infty}[/tex] og hva som skjer når [tex]\lim_{d \to 0}[/tex][/tex]

OPPDATERING:

Med [tex]d \to \infty[/tex] mener jeg at normalen i trekanten går mot uendelig, og sidene b og c og vinklene i trekanten instiller seg etter det.

Siden BC vil forbli like lang hele tiden. Vinkelen mellom x-aksen og d vil alltid være den samme.

Det finnes 3 konstanter i trekanten:

1) Lendgen på BC
2) Vinkelen ADC/ADB
3) Vinkelen til d på x-aksen.

Det hele er litt uklart. For det første har du avrundede verdier på vinklene. For det andre gir det ikke mening å bare si at [tex]d \to \infty[/tex]. Hva er konstant, og hva er variabelt? Vil BC ha samme lengde hele tiden, f.eks. Vil vinkelen mellom x-aksen og linjen d være den samme?

Ok, jeg beklager at oppgaven var uklar.

Med [tex]d \to \infty[/tex] mener jeg at normalen i trekanten går mot uendelig, og sidene b og c og vinklene i trekanten instiller seg etter det.

Siden BC vil forbli like lang hele tiden. Vinkelen mellom x-aksen og d vil alltid være den samme.

Vinklene er for det meste avrundede for å spare plass.

Jeg beklager igjen at oppgaven var uklar.

Blir det noe slikt? Føler jeg gjør det på en unødvendig klumsete (og muligens ikke helt holdbar) måte ...

Deler [tex]\alpha[/tex] opp i to deler, [tex]\alpha_1 = \angle{DAB}[/tex] og [tex]\alpha_2 = \angle{CAD}[/tex]

Siden [tex]\triangle{ABD}[/tex] er rettvinklet så kan [tex]\alpha_1[/tex] uttrykkes som [tex]\alpha_1 = \tan^{-1}\left(\frac{BD}{d}\right)[/tex]. Når [tex]d \to \infty[/tex] går [tex]\alpha_1[/tex] mot grenseverdien:

[tex]\alpha_1 = \lim_{d \to \infty} \ \tan^{-1}\left(\frac{BD}{d}\right) = \lim_{d \to \infty} \ \tan^{-1}\left(BD \cdot \frac{1}{d}\right) = tan^{-1}(BD \cdot 0) = tan^{-1}(0) = 0[/tex]

Det blir helt identisk for [tex]\alpha_2[/tex], siden også [tex]\triangle{ADC}[/tex] er rettvinklet.

[tex]\alpha_2 = \lim_{d \to \infty} \ \tan^{-1}\left(\frac{CD}{d}\right) = \lim_{d \to \infty} \ \tan^{-1}\left(CD \cdot \frac{1}{d}\right) = \tan^{-1}(CD \cdot 0) = \tan^{-1}(0) = 0[/tex]

[tex]\alpha = \alpha_1 + \alpha_ 2 = 0[/tex]. Altså går [tex]\alpha[/tex] mot 0.

Så var det tilfellet når [tex]d \to 0[/tex]. Benytter akkurat samme utgangspunkt og begrunnelser ...

[tex]\alpha_1 = \lim_{d \to 0} \ \tan^{-1}\left(\frac{BD}{d}\right) = \lim_{d \to 0} \ \tan^{-1}\left(BD \cdot \frac{1}{d}\right) = \tan^{-1}(BD \cdot \infty) = \tan^{-1}(\infty)[/tex]

Siden [tex]\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}[/tex] må [tex]\cos(x) \to 0[/tex] dersom [tex]\lim_{x \to 0} \tan(x) = \infty[/tex], fordi en brøk går mot uendelig når nevneren går mot 0. Cosinus går mot 0 når vinkelen går mot 90. Altså er [tex]\tan^{-1}(\infty) = 90^\circ[/tex], og følgelig er [tex]\alpha_1 = 90^\circ[/tex]

Det samme skjer med [tex]\alpha_2[/tex]:

[tex]\alpha_2 = \lim_{d \to 0} \ \tan^{-1}\left(\frac{CD}{d}\right) = \lim_{d \to 0} \ \tan^{-1}\left(CD \cdot \frac{1}{d}\right) = \tan^{-1}(CD \cdot \infty) = \tan^{-1}(\infty) = 90^\circ[/tex]

[tex]\alpha = \alpha_1 + \alpha_2 = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ[/tex].

Altså går [tex]\alpha[/tex] mot [tex]180^\circ[/tex].