Morsom oppgave

[Sonki]

La [tex]n[/tex] være et positivt heltall
Skriv ned alle par av heltallene [tex](a,b)[/tex] hvor:

[tex]1 \leq a < b \leq n[/tex]
[tex]a+b>n[/tex]
[tex]gcd(a,b) =1[/tex]
For hvert slikt [tex](a,b)[/tex] par, beregn [tex]1/ab[/tex]
Vis at summen av disse brøkene vil være lik [tex]1/2[/tex] for alle[tex]n[/tex]
håper spørsmålet ble noe forståelig

[Charlatan]

Denne har jeg vært borti i Paul Zeti's bok, men ikke bevist det. Håper man ikke må bruke analytisk tallteori.

[Bogfjellmo]

Morsom sak. Kan bevises ved induksjon.

Kall tallet du får ved prosessen beskrevet ovenfor s(n).

Påstanden er at [tex]s(n)=\frac 12[/tex] for alle heltall n.

for n=2 har vi bare a=1, b=2, og påstanden stemmer.

Anta at det stemmer for n=k-1.

Så må vi se hvilke par (a,b) som er med for n=k-1, men som ikke er med for n=k. Ser lett at dette er de par hvor a+b=k. (og som oppfyller de øvrige krav) På den annen side er det nye par som er med for n=k, nemlig (c,k), hvor gcd(c,k)=1.

Så må vi huske at.

[tex]\gcd(a,b)=1 \Leftrightarrow \gcd(a,a+b)=1[/tex]

Så de c som er med i de nye parene, er nettopp alle a og b som er med i parene som forsvinner.

Så vi har

[tex]s(k) = s(k-1) -\displaystyle \sum_a \frac {1}{a(n-a)} + \sum_{c} \frac {1}{nc}[/tex]

Hvor den første summen går over alle a som er relativt primiske med n, og mindre enn n/2, mens den andre summen går over alle c som er relativt primiske med n.

For å vise at s(k-1)=s(k), ganger vi med 2, og utnytter symmetrien.

[tex]2[s(k-1)-s(k)]=\displaystyle \sum_c \frac {1}{c(n-c)} - \sum_{c} \frac {2}{nc}[/tex]

Hvor begge summene nå går over alle c som er relativt primisk med n. Trekker summene sammen, setter på felles brøkstrek og ordner.

[tex]\displaystyle \sum_c \( \frac {1}{c(n-c)}-\frac {2}{nc} \left)= \sum_c \frac {n-2(n-c)}{nc(n-c)}=\frac 1n \sum_c \frac {c-(n-c)}{c(n-c)} = 0[/tex]
Da ethvert ledd i summen opptrer to ganger med motsatt fortegn.

Det følger at [tex]s(n) = \frac 12 [/tex] for alle heltall n.

[Sonki]

Stemmer! Samme måte som jeg løste den , med induksjon