Dette oppgavesettet er ment som en liten introduksjon til abstrakt algebra for ungdomsskole- og vgs-elever.
INTRODUKSJON
Litt forenklet kan vi si at matematikk bygger på operasjoner på mengder. Vi kjenner alle til mengdene [tex]\mathbb{N}[/tex] (de naturlige tallene 1, 2, 3....), [tex]\mathbb{Z}[/tex] (heltallene, inkludert de negative) [tex]\mathbb{Q}[/tex] (alle rasjonale tall, tall som kan skrives som en brøk av to hele tall) og [tex]\mathbb{R}[/tex] (de reelle tallene.) Matematikk som vi kjenner det fra ungdomskole og videregående tar for seg [tex]\mathbb{R}[/tex] med to operasjoner: multiplikasjon og addisjon.
Vi tar for oss to reelle tall a og b. Multiplikasjon og addisjon på [tex]\mathbb{R}[/tex] oppfyller følgende krav:
Lukkethet: a + b og ab er også reelle tall. (Altså: dersom vi adderer eller multipliserer to tall i mengden, ender vi ikke opp med et tall som ikke befinner seg i mengden.)
Kommutativitet: a + b = b + a og ab = ba.
Assosiativitet: (a+b) + c = a + (b + c) og (ab)c = a(bc)
Identiteter: a + 0 = a og 1a = a
Inverser: Det eksisterer et tall b slik at a + b = 0 og dersom a ikke er det additive identitetselementet (altså 0), eksisterer en c slik at ac = 1
Distributivitet:a(b+c) = ab + ac, (a+b)c = ac + bc
En mengde som har definert to matematiske operasjoner som oppfyller kravene over kalles en kropp (field på engelsk).
Test deg selv: Verifiser at [tex]\mathbb{Q}[/tex] er en kropp under addisjon og multiplikasjon.
Oppgave 1: Mengden [tex]\mathbb{Q}(\sqrt{2})[/tex] er mengden av alle tall som kan skrives som [tex]u + v\sqrt 2[/tex], der u og v er rasjonale tall. Vis at [tex]\mathbb{Q}(\sqrt{2})[/tex] er en kropp under addisjon og multiplikasjon
GRUPPER
La oss nå heller se på en ny matematisk struktur - Såkalte grupper. Den definisjonen vi gir av en gruppe er abstrakt, og føles kanskje litt fjernt fra virkeligheten - men grupper dukker opp "over alt" i moderne matematikk og fysikk. Det var også essensielt grupper vår egen Abel brukte da han beviste at femtegradslikninger generelt er uløselige.
En gruppe er enkelt og greit en mengde med objekter (tall, bokstaver, familiemedlemmer, land...) som har én definert operasjon. La oss kalle mengden for M og denne operasjonen for *.
Operasjonen * oppfyller følgende krav:
Lukkethet: Dersom a og b er i S, er a*b også i S.
Assosiativitet: a*(b*c) = (a*b)*c
Identitet: Det eksisterer et (unikt) element e, slik at for alle a is S så er a*e = e*a = a.
Inverser: Hvert eneste element a i S har en invers b, slik at a*b = e.
I matematikken er det også noe som heter Abelske grupper. Disse gruppene oppfyller et ekstra krav:
Kommutativitet: a*b = b*a
Legg altså merke til at i en generell gruppe, er ikke nødvendigvis a*b = b*a.
Notasjonen for en gruppe er slik: {S,*} (altså {mengde, operasjon})
Oppgave 2: Vis at [tex](\mathbb{Z},+)[/tex] er en abelsk gruppe
Oppgave 3: Vi tar for oss mengden med reelle tall [tex]\mathbb{R}[/tex], og vi definerer operasjonen * slik: [tex]a * b = a + 2b[/tex]. Finn ut om * er assosiativ og kommutativ, og om det finnes et identitetselement.
Oppgave 4: Legg merke til at jeg har skrevet unikt i parentes ved kravet om identitetselement. Vis at en gruppe bare kan ha ett eneste identitetselement.
Flere oppgaver kommer om folk viser interesse.
La oss tenke abstrakt (algebra)
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Prøver meg på den fjerde oppgaven; ' Vis at en gruppe bare kan ha ett eneste identitetselement.'. Er det så enkelt som å legge merke til å anta at det finnes to (eller flere) identitetselementer a og b og se på operasjonen a*b, som etter definisjonen av et identitetselement må bli både a og b, som er umulig, og altså finnes det bare ett identitetselement?