Sum av fakulteter

[daofeishi]

Finnes det et tall z, som kan skrives på to ulike måter, z = a! + b! = c! + d!, der a, b, c og d er naturlige tall?

[Knuta]

Ikke som jeg kan se. Men det finnes en løsning der a!+b!=c!

[Karl_Erik]

Er vel ikke så enkelt som z=2 med a = 1, b = 1, c = 2 og d = 0?

EDIT: Whoops, naturlige tall er ikke helt det samme som hele tall, nei.

EDITIGJEN: ...ooog 0! er jammen lik 1 og ikke 0. Beklagerbeklager.

[Bogfjellmo]

Er vel ikke så enkelt som z=2 med a = 1, b = 1, c = 2 og d = 0?

EDIT: Whoops, naturlige tall er ikke helt det samme som hele tall, nei.

[tex]1! + 1! = 2 \neq 3 = 2! + 0![/tex]

Inkluderes 0 som naturlig tall er det jo uendelig mange trivielle løsninger.

Men om 0 ikke regnes som naturlig tall finnes det ingen løsninger.

Bevis:

Anta at det er mulig, dvs [tex]a! + b! = c! + d! [/tex].
Anta, uten tap av generalitet, at [tex]a < c \leq d < b[/tex], og skriv om til [tex]b! - d! = c! - a![/tex]

Men siden [tex]b \geq d+1 \Rightarrow b! - d! \geq d \cdot d![/tex] og [tex] a! \geq 0 \Rightarrow c! - a! \leq c!-1[/tex], får vi en motsigelse.

[TomM]

Finnes det et tall z, som kan skrives på to ulike måter, z = a! + b! = c! + d!, der a, b, c og d er naturlige tall?

Nope, det er umulig. Hvis c er bare en høyere enn den største av a og b så vil c! være så mye større at selv om du legger til bare 0!=1 så er tallet større enn a! + b!. Det er rett og slett for stort sprang mellom tallene.