Kjedebrøk og integral

[daofeishi]

La oss definere en rekke med kjedebrøk-funksjoner slik:

[tex]K_1(x) = \frac{1}{1+\frac{1}{x}} \\ K_2(x) = \frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}} \\ K_3(x) = \frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}}[/tex]

også videre.

Finn [tex]\int K_n(x) \rm{d}x[/tex]

[Knuta]

La f være Fibonacci rekka. slik at f(0)=0, f(1)=1 og f(2)=1

Hvis jeg ikke har bomma helt så er

[tex]\int K_n(x) \rm{d}x = \frac{f(n-1)x}{f(n)}\ +(-1)^n\ \cdot\ \frac{\ln(f(n)x+f(n-1))}{f(n)^2} [/tex]

[daofeishi]

Ser rett ut, men har du et bevis?

[Knuta]

Nei, jeg tok en vill gjetting. en litt for rå gjetting.

[mrcreosote]

Induksjon har du nok innabords, prøv det!

[Knuta]

Bevis er ikke min sterke side.

Fra før vet vi at [tex]\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=\frac{ab}{a+b}[/tex]
her fyller vi inn a=1 og b=x og finner ut at [tex]K_1(x)=\frac{x}{x+1}[/tex]

Tilsvarende ble gjort for K2, K3. og resultatet ble

[tex]K_2(x)=\frac{x+1}{2x+1}\\ \ \\K_3(x)=\frac{2x+1}{3x+1}[/tex]

Det var nesten en løsning som jeg hadde lyst å gå for med øke med 1 i alle ledd. Deretter tok jeg en kontroll med K4.

[tex]K_4(x)=\frac{3x+2}{5x+3}[/tex]

Det stemte selvfølgelig ikke. så tippet jeg på Fibonacci.

[tex]K_n(x)=\frac{f(n)x+f(n-1)}{f(n+1)x+f(n)}[/tex]

Noe som stemte med både K5 og K6.

[tex]K_5(x)=\frac{5x+3}{8x+5}\\ \ \\K_6(x)=\frac{8x+5}{13x+8}[/tex]

En annen virkning er

[tex]\sum_{n\to\infty}K_n(x) = \frac{\sqrt{5}-1}{2}[/tex]

Men det kan en annen bevise.

[daofeishi]

Dette vil komme godt med, ja. Kanskje det hjelper å observere at [tex]K_n(x) = K_{n-1}(1+\frac 1 x)[/tex]?