La oss definere en rekke med kjedebrøk-funksjoner slik:
[tex]K_1(x) = \frac{1}{1+\frac{1}{x}} \\ K_2(x) = \frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}} \\ K_3(x) = \frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}}[/tex]
også videre.
Finn [tex]\int K_n(x) \rm{d}x[/tex]
Kjedebrøk og integral
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
La f være Fibonacci rekka. slik at f(0)=0, f(1)=1 og f(2)=1
Hvis jeg ikke har bomma helt så er
[tex]\int K_n(x) \rm{d}x = \frac{f(n-1)x}{f(n)}\ +(-1)^n\ \cdot\ \frac{\ln(f(n)x+f(n-1))}{f(n)^2} [/tex]
Hvis jeg ikke har bomma helt så er
[tex]\int K_n(x) \rm{d}x = \frac{f(n-1)x}{f(n)}\ +(-1)^n\ \cdot\ \frac{\ln(f(n)x+f(n-1))}{f(n)^2} [/tex]
Nei, jeg tok en vill gjetting. en litt for rå gjetting.
-
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Induksjon har du nok innabords, prøv det!
Bevis er ikke min sterke side.
Fra før vet vi at [tex]\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=\frac{ab}{a+b}[/tex]
her fyller vi inn a=1 og b=x og finner ut at [tex]K_1(x)=\frac{x}{x+1}[/tex]
Tilsvarende ble gjort for K2, K3. og resultatet ble
[tex]K_2(x)=\frac{x+1}{2x+1}\\ \ \\K_3(x)=\frac{2x+1}{3x+1}[/tex]
Det var nesten en løsning som jeg hadde lyst å gå for med øke med 1 i alle ledd. Deretter tok jeg en kontroll med K4.
[tex]K_4(x)=\frac{3x+2}{5x+3}[/tex]
Det stemte selvfølgelig ikke. så tippet jeg på Fibonacci.
[tex]K_n(x)=\frac{f(n)x+f(n-1)}{f(n+1)x+f(n)}[/tex]
Noe som stemte med både K5 og K6.
[tex]K_5(x)=\frac{5x+3}{8x+5}\\ \ \\K_6(x)=\frac{8x+5}{13x+8}[/tex]
En annen virkning er
[tex]\sum_{n\to\infty}K_n(x) = \frac{\sqrt{5}-1}{2}[/tex]
Men det kan en annen bevise.
Fra før vet vi at [tex]\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=\frac{ab}{a+b}[/tex]
her fyller vi inn a=1 og b=x og finner ut at [tex]K_1(x)=\frac{x}{x+1}[/tex]
Tilsvarende ble gjort for K2, K3. og resultatet ble
[tex]K_2(x)=\frac{x+1}{2x+1}\\ \ \\K_3(x)=\frac{2x+1}{3x+1}[/tex]
Det var nesten en løsning som jeg hadde lyst å gå for med øke med 1 i alle ledd. Deretter tok jeg en kontroll med K4.
[tex]K_4(x)=\frac{3x+2}{5x+3}[/tex]
Det stemte selvfølgelig ikke. så tippet jeg på Fibonacci.
[tex]K_n(x)=\frac{f(n)x+f(n-1)}{f(n+1)x+f(n)}[/tex]
Noe som stemte med både K5 og K6.
[tex]K_5(x)=\frac{5x+3}{8x+5}\\ \ \\K_6(x)=\frac{8x+5}{13x+8}[/tex]
En annen virkning er
[tex]\sum_{n\to\infty}K_n(x) = \frac{\sqrt{5}-1}{2}[/tex]
Men det kan en annen bevise.