Nattintegral

[Janhaa]

[tex]I=\int \frac{{\rm dx}}{\cos(x)\cdot [\sin(x)\,+\,\cos(x)][/tex]

[TrulsBR]

Et nattintegral fortjener et nattsvar:
[tex]I = \int {{{dx} \over {\cos x\left( {\cos x + \sin x} \right)}}} = \int {{{dx} \over {\cos ^2 x\left( {1 + \tan x} \right)}}}[/tex]
[tex]u = 1 + \tan x \Rightarrow du = {{dx} \over {\cos ^2 x}}[/tex]
[tex]I = \int {{{du} \over u} = \ln \left| u \right| + C} = \ln \left| {1 + \tan x} \right| + C[/tex]

[Janhaa]

Jepp, så enkelt kan dette integralet bestemmes...

her er der lett å knote seg langt bort i granskauen...

[Janhaa]

Kjører på med ett nattintegral til jeg;

[tex]I_2= \int \frac{(x+7)^5}{(x+2)^7}\,{\rm dx}[/tex]

[Charlatan]

Jeg får

[tex]I_2=\sum^5_{k=0}-\frac{5^k {5 \choose k}}{3+k}(x+2)^{-(3+k)}+C[/tex]

Jeg substituerte u=x+2, og ganget ut med binomialformelen.

Er sikker på at det kan gjøres enklere da..

EDIT: glemte konstant C..

[orjan_s]

Prøver meg på [tex]I_2[/tex]:

[tex]I_2= \int \frac{(x+7)^5}{(x+2)^7}\,{\rm dx}[/tex]

u=x+2 og u+5=x+7

[tex]I_2= \int \frac{(u+5)^5}{u^7}\,{\rm du}[/tex]

[tex]I_2= \int \frac{u^5}{u^7}\,{\rm du}+\int \frac{25u^4}{u^7}\,{\rm du}+\int \frac{250u^3}{u^7}\,{\rm du}+\int \frac{1250u^2}{u^7}\,{\rm du}+\int \frac{3125u}{u^7}\,{\rm du}+\int \frac{3125}{u^7}\,{\rm du}[/tex]

[tex]I_2= \int \frac{1}{u^2}\,{\rm du}+\int \frac{25}{u^3}\,{\rm du}+\int \frac{250}{u^4}\,{\rm du}+\int \frac{1250}{u^5}\,{\rm du}+\int \frac{3125}{u^6}\,{\rm du}+\int \frac{3125}{u^7}\,{\rm du}[/tex]

[tex]I_2=-\frac{1}{u}- \frac{25}{2u^2}- \frac{250}{3u^3}-\frac{1250}{4u^4}- \frac{3125}{5u^5}- \frac{3125}{6u^6}+C[/tex]

[tex]I_2=-\left( \frac{6u^5+75u^4+500u^3+1875u^2+3750u+3125}{6u^6}\right)+C[/tex]

[tex]I_2=-\left( \frac{6(x+2)^5+75(x+2)^4+500(x+2)^3+1875(x+2)^2+3750(x+2)+3125}{6(x+2)^6}\right)+C[/tex]

Håper det er i nærheten av svaret, skjønte ikke så mye av det Jarle10 gjorde da. Kan sikker pyntes på men det får bli til en annen gang...

[Charlatan]

Svarene våre er identiske (slurvefeil kan ha oppstått), som du ser kan du omskrive svaret ditt til et rekkeuttrykk. (om det ordet finnes)

[Janhaa]

[tex]I_2= \int \frac{(x+7)^5}{(x+2)^7}\,{\rm dx}[/tex]

Ser riktig ut dette gutta
Imidlertid kan integralet bestemmes enklere på følgende måte; sett

[tex]u=\frac{x+7}{x+2}[/tex]
der
[tex]{\rm du}=-\frac{5}{(x+2)^2}{\rm dx}[/tex]
slik at;
[tex]{\rm dx}=-\frac{(x+2)^2}{5}{\rm du}[/tex]

[tex]I_2=-{1\over 5}\int u^5 {\rm du}=-{1\over 30}u^6\,+\,C=-{1\over 30}(\frac{x+7}{x+2})^6\,+\,C[/tex]

-------------------------------------------------------------------------


skal finne ett nytt nattintegral...

[Janhaa]

[tex]I_3=\int \sqrt{\frac{x+1}{x^5}}\,{\rm dx}[/tex]

[daofeishi]

Skriver om, og merker meg et derivat:

[tex]I = \int \sqrt{\frac{x+1}{x^5}} \rm{d}x = \int x^ {-2} \sqrt{1 + x^{-1}} \rm{d}x = -\frac{2}{3}\left( 1+ x^{-1} \right)^{\frac 3 2} + C [/tex]

[Janhaa]

Skriver om, og merker meg et derivat:
[tex]I = \int \sqrt{\frac{x+1}{x^5}} \rm{d}x = \int x^ {-2} \sqrt{1 + x^{-1}} \rm{d}x = -\frac{2}{3}\left( 1+ x^{-1} \right)^{\frac 3 2} + C [/tex]

Ja, dette var ett integral du ga oss for en stund sida.
Imidlertid løste du integralet på en mer elegant måte...

[daofeishi]

Foreslår et nytt et, jeg da:

[tex]\int \frac{1}{x \sqrt{x-1}} \rm{d}x[/tex]

[Charlatan]

[tex]I=\int \frac{\rm{d}x}{x\sqrt{x-1}}[/tex]
Prøver med
[tex]u=\sqrt{x-1} \Rightarrow x=u^2+1[/tex]
[tex]2\sqrt{x-1}\rm{d}u=\rm{d}x[/tex]
Så får vi at
[tex]I=\int \frac{2\rm{d}u}{u^2+1}=2\arctan{(u)}+C=2\arctan{(\sqrt{x-1})}+C[/tex]

Ikke noe særlig til nattintegral her i norge, men vi rettferdiggjør det med at det sikkert er midt på natta i Kina

[Janhaa]

[tex]I=\int \frac{\rm{d}x}{x\sqrt{x-1}}[/tex]
Prøver med
[tex]u=\sqrt{x-1} \Rightarrow x=u^2+1[/tex]
[tex]2\sqrt{x-1}\rm{d}u=\rm{d}x[/tex]
Så får vi at
[tex]I=\int \frac{2\rm{d}u}{u^2+1}=2\arctan{(u)}+C=2\arctan{(\sqrt{x-1})}+C[/tex]
Ikke noe særlig til nattintegral her i norge, men vi rettferdiggjør det med at det sikkert er midt på natta i Kina

den var pen, jeg løste den mer tungvint ja...hva med et nytt Jarle?

[daofeishi]

Ikke noe særlig til nattintegral her i norge, men vi rettferdiggjør det med at det sikkert er midt på natta i Kina

Usjda. Jeg får skylde på 2 uker med kinesisk nyttårsfeiring og temporær tallblindhet (baijiu er farlige saker...)

Du får grave fram et integral med litt mer futt over seg