-1 = 1

[Knuta]

Jeg måtte glise litt da jeg så det. Finn feilen:

[tex]-1=i\cdot i=\sqrt{-1}\cdot\sqrt{-1}=\sqrt{-1\cdot-1}=\sqrt{1}=1[/tex]

[JonasBA]

[tex]i \cdot i = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{-1 \cdot -1} = \sqrt 1 = 1[/tex]
[tex]i \cdot i = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = (\sqrt{-1})^2 = -1[/tex]

Har egentlig fundert på hvilke regler som gjelder her. Er [tex]i \cdot i[/tex] [tex]-1[/tex] eller [tex]1[/tex]?

[Janhaa]

Jeg mener å huske at følgende gjelder;

[tex]\sqrt a \cdot \sqrt b = \sqrt {a\cdot b}[/tex]

for a > 0 og b > 0

[Janhaa]

Har egentlig fundert på hvilke regler som gjelder her. Er [tex]i \cdot i[/tex] [tex]-1[/tex] eller [tex]1[/tex]?

[tex]i^2\,=\, -1[/tex]

[TrulsBR]

Grunnen til at vi tilsynelatende oppnår en selvmotsigelse, er at ethvert tall har n komplekse n'te-røtter. For eksempel er [tex](-i)^2=i^2=-1[/tex].

[magneam]

Men er ikke

[tex] \sqrt{1} = \pm \; 1 [/tex] ?

[Vektormannen]

[tex]\sqrt x[/tex] i seg selv er vel den positive rota, mens -[tex]\sqrt x[/tex] er den negative?

[daofeishi]

Men er ikke

[tex] \sqrt{1} = \pm \; 1 [/tex] ?

Nei, nei, nei, nei, nei, nei

Beklager utbruddet

En funksjon kan aldri ha to verdier for et gitt argument. Kvadratrotfunksjonen er alltid definert som den positive roten av tallet.

Derfor:
[tex] \sqrt 9 \neq -3[/tex]

DERIMOT
naar du loeser likninger maa du ta hensyn til at ethvert tall har to andreroetter. Derfor vet du at dersom [tex]x^2 = k[/tex], er [tex]x =sqrt k[/tex] ELLER [tex]x = - \sqrt k[/tex]

[magneam]

Ah, selvfølgelig
Tenkte meg ikke helt om der. Men lager man ikke en ekstra løsning ved å faktorisere 1 på måten gjort i denne tråden? Det var heller noe slikt jeg mente.

[groupie]

Kanskje noen av de mer beleste har lyst til å informere oss dødelige om hva som foregår rundt:

[tex]sqrt{i}=\pm\frac{1}{sqrt{2}}(1+i)[/tex]

[Charlatan]

?

For det første kan ikke et tall ha 2 verdier.
For det andre, du skjønner jo sikkert grunnen hvis du kvadrerer uttrykket.

[groupie]

Vel, at [tex](sqrt{i})^2=(\pm\frac{1}{sqrt{2}}(1+i))^2=i[/tex] er nå forsåvidt helt greit. Jeg lurte bare på hvordan man kan regne seg ut fra[tex]sqrt{i}[/tex]

[Charlatan]

Anta at roten av i er et komplekst tall.

Da må [tex]\sqrt{i}=a+bi[/tex]
Se om du nå kan finne ut hva a og b må være.

Eventuelt kan du bruke at [tex]r\cdot e^{\theta i}= r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})[/tex] Hvor r er absoluttverdien og [tex]\theta[/tex] er argumentet for det komplekse tallet. Likeså kan du her anta at tallet er et komplekst tall.

Sistnevnte metode finner eksakte verdier for alle røtter og for alle komplekse tall.

[Janhaa]

Vel, at [tex](sqrt{i})^2=(\pm\frac{1}{sqrt{2}}(1+i))^2=i[/tex] er nå forsåvidt helt greit. Jeg lurte bare på hvordan man kan regne seg ut fra[tex]sqrt{i}[/tex]

Noe i den duren, studer det komplekse tallet w = 0 + i*1, dvs w = i
da vil |w| = 1, og argumentet (theta) er lik:

[tex]\cos(\theta)=\frac{x}{|w|}=\frac{0}{1}=0[/tex]
og
[tex]\theta=\frac{\pi}{2}[/tex]

altså:
[tex]\sqrt{i}=(\cos(\theta)\,+\,i\sin(\theta))^{1/2}=\cos({\frac{\theta}{2}})\,+\,i\sin(\frac{\theta}{2})[/tex]

[tex]\sqrt{i}=\cos({\frac{\pi}{4}})\,+\,i\sin(\frac{\pi}{4})\,=\,{1\over \sqrt2}\,+\,i{1\over \sqrt2}[/tex]

[groupie]

Må bare beklage at alt dette er nok perler for svin. Jeg har ikke gjort komplekse tall, men finner emnet svært interessant. Jeg forstår hva som skjer hvis jeg aksepterer: [tex]w=0+i\ast1, w=1[/tex] Hvorfor blir det ikke [tex]w=i[/tex]?

Takker på forhånd!