Denne morsomme saken fungerer som følger. Tenk deg at du har en funksjon av to variable [tex]f(x,n)[/tex]. (Der både x og n er reelle tall.)Richard Feynman skrev:I used that one damn tool again and again
En slik funksjon kan for eksempel se slik ut:
[tex]f(x,n) = \frac{1}{x^2+n^2}\\f(x,n) = \frac{x}{n}+n \sin(x)[/tex]
Vi dypper nå foten i et emne som kalles "multivariabel kalkulus" - teorien for integrasjon/derivasjon av funksjoner med mer enn én variabel. Har vi kjennskap til regning med en variabel, blir ikke overgangen et problem.
Du kjenner antakeligvis til notasjonen [tex]\frac{\rm{d}}{\rm{d}x} f(x)[/tex] for et derivat i énvariabel kalkulus. [tex]f(x, n)[/tex] har 2 variabler, og kan dermed deriveres med respekt til 2 ulike variabler - x eller n. Disse noteres slik:
[tex]\frac{\partial}{\partial x}f(x, n), \qquad \frac{\partial}{\partial n}f(x, n)[/tex]
Når vi deriverer med respekt til en variabel, later vi som alle andre variabler er konstanter. Her følger et eksempel:
[tex]f(x, n) = n \sin(x)[/tex]
Da er
[tex]\frac{\partial}{\partial x}f(x, n) = n \cos(x) \\ \frac{\partial}{\partial n}f(x, n) = \sin(x)[/tex]
Hvorfor? Fordi i siste derivatet er [tex]\sin(x)[/tex] bare som en konstant å regne(!), og n variabelen vi deriverer med hensyn på
Et interessant resultat er at dersom du har et definitt integral med respekt til ene variabelen, har du lov til å derivere andre UNDER INTEGRALTEGNET om du vil - la oss ta et enkelt illustrativt eksempel først:
Som vi vet er
[tex]\int _1 ^a \frac{1}{nx} \rm{d}x = \frac{\ln(a)}{n}[/tex]
Vi har så lov til å derivere under integraltegnet:
[tex]\int _1 ^a \frac{\partial}{\partial n} \frac{1}{nx} \rm{d}x = \frac{\partial}{\partial n}\frac{\ln(a)}{n} \\ \int _1 ^a - \frac{1}{n^2x} \rm{d}x = -\frac{\ln(a)}{n^2}[/tex]
Dette så vel kanskje vel og greit ut - dette var jo rimelig trivielt. Men denne teknikken kan har sine store styrker... La oss si du ønsker å finne ut hva følgende integral er, for alle positive heltall k:
[tex]\int _{-\infty}^\infty \frac{1}{(x^2+1)^k} \rm{d}x[/tex]
Du vet allerede/får oppgitt at [tex]\int \frac{1}{x^2 + 1}\rm{d}x = \arctan(x) + C[/tex]
Dette kan synes som et vanskelig problem, helt til vi innfører en liten hjelpevariabel n. Skriv om problemet slik:
[tex]\int _{-\infty}^\infty \frac{1}{(x^2+n)^k} \rm{d}x[/tex]
Vi vet selvsagt at n = 1, men dette bruker vi senere.
La oss begynne med k = 1:
[tex]\int _{-\infty}^\infty \frac{1}{x^2+n} \rm{d}x = \left[ \frac{1}{\sqrt n} \arctan ( \frac{x}{\sqrt n} ) \right] _{-\infty} ^\infty = \frac{\pi}{\sqrt n}[/tex]
(Vi ser her ved å sette n=1 at [tex]\int _{-\infty}^\infty \frac{1}{x^2+1} \rm{d}x = \pi[/tex])
Hva skjer så dersom vi deriverer under integraltegnet med respekt på n?
[tex]\int _{-\infty}^\infty \frac{1}{x^2+n} \rm{d}x = \frac{\pi}{\sqrt n} \\ \int _{-\infty}^\infty \frac{\partial}{\partial n} \frac{1}{x^2+n} \rm{d}x = \frac{\partial}{\partial n} \frac{\pi}{\sqrt n} \\ \int _{-\infty}^\infty - \frac{1}{(x^2+n)^2} \rm{d}x = -\frac{\pi}{2n^{\frac 3 2}} \\ \int _{-\infty}^\infty \frac{1}{(x^2+n)^2} \rm{d}x = \frac{\pi}{2n^{\frac 3 2}} [/tex]
Og når n = 1, ser vi at:
[tex]\int _{-\infty}^\infty \frac{1}{(x^2+1)^2} \rm{d}x = \frac{\pi}{2}[/tex]
Første oppgave lyder som følger: Undersøk videre. Fortsett å derivere under integraltegnet. Kan du finne et mønster for [tex]\int _{-\infty}^\infty \frac{1}{(x^2+1)^k} \rm{d}x[/tex]? Prøv å finne fram til en generell formel om du klarer!
