På vei hjem til juleferie, og etter fysikkeksamen satt jeg og tenkte på praktiske anvendelsesområder for det jeg hadde lært dette semesteret.
Jeg mente det måtte være mulig å regne ut hvor dyp en gruvesjakt/brønn er ved å slippe en stein ned i den og måle tiden det tar fra slipp til lyden av sammenstøtet stein og bunn når øret til den som slapp steinen.
Etter en del tankearbeid fikk jeg det til og laget derfor denne oppgaven som de som ønsker det kan bryne seg på:
Oppgave: Du holder en stein i sentrum av en brønnåpning i samme plan som brønnkantene, du slipper deretter steinen og tar tiden fra du slipper steinen til du hører smellet fra dens treff med brønnbunnen.
Følgende opplysninger er gitt:
Brønnen er tørrlagt.
Se bort fra luftmotstand kun i steinens fallperiode.
Lydfart i luft er 300 m/s.
Tyngdeakselerasjonen settes til 9.81m/s^2
1. Spørsmål 1, dersom brønnen er 100m dyp, hvor lang tid tar det fra du slipper steinen til du hører smellet fra treffet med bunnen?
2. Lag en formel som kan brukes til å regne ut dybden av brønnen gitt tiden det tar fra slipp av sten til du hører lyden fra stenen som treffer bunnen.
Nivået på denne oppgaven tilsvarer videregående/forkurs fysikk.
Nå er jeg spent på om noen klarer denne!
Liten nøtt på nyåret!
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Når brønnen er h meter dyp, så bruker steinen en viss tid [tex]t_1[/tex] på å nå bunnen. [tex]h = \frac{1}{2}{gt_1^2}[/tex], altså [tex]t_1 = \sqrt{2h/g}[/tex]
Så bruker lyden en tid [tex]t_2[/tex] på å nå overflaten. [tex]t_2 = h/v[/tex], der v er lydfarten.
Vi måler totaltiden [tex]t = t_1 + t_2[/tex].
[tex]t = \sqrt{2h/g} + \frac{h}{v}[/tex]
Så er det å løse denne likningen for h. Det blir å løse en irrasjonal likning.
[tex]\sqrt{2h/g} = \frac{tv-h}{v}[/tex]
[tex]\frac{2h}{g} = \frac{(tv)^2 - (2tv)h + h^2}{v^2}[/tex]
[tex](2v^2)h = gh^2 - (2tvg)h + g(tv)^2[/tex]
[tex]gh^2 - 2v(tg+v)h + g(tv)^2 = 0[/tex]
Og så skal den her greia løses.. Vi ser av uttrykket at den har to positive løsninger, så da må vi få bort den ene. Vi vet da at [tex]\frac{tv-h}{v}[/tex] må være større enn eller lik null. Da er sikkert den ene løsningen mindre enn null, slik at vi kan kutte den ut. Orker egentlig ikke å henge meg opp i detaljene
Det kan noen andre få kose seg med.
Ble det fornuftig eller?
Så bruker lyden en tid [tex]t_2[/tex] på å nå overflaten. [tex]t_2 = h/v[/tex], der v er lydfarten.
Vi måler totaltiden [tex]t = t_1 + t_2[/tex].
[tex]t = \sqrt{2h/g} + \frac{h}{v}[/tex]
Så er det å løse denne likningen for h. Det blir å løse en irrasjonal likning.
[tex]\sqrt{2h/g} = \frac{tv-h}{v}[/tex]
[tex]\frac{2h}{g} = \frac{(tv)^2 - (2tv)h + h^2}{v^2}[/tex]
[tex](2v^2)h = gh^2 - (2tvg)h + g(tv)^2[/tex]
[tex]gh^2 - 2v(tg+v)h + g(tv)^2 = 0[/tex]
Og så skal den her greia løses.. Vi ser av uttrykket at den har to positive løsninger, så da må vi få bort den ene. Vi vet da at [tex]\frac{tv-h}{v}[/tex] må være større enn eller lik null. Da er sikkert den ene løsningen mindre enn null, slik at vi kan kutte den ut. Orker egentlig ikke å henge meg opp i detaljene
Det kan noen andre få kose seg med.Ble det fornuftig eller?