Julenøttstafett

[Magnus]

Ny oppgave!!!

[Olorin]

God JUL!

[daofeishi]

God jul! Jeg håper dere hjemme i fedrelandet koser dere! Etter en hard dag på jobb, ligger tankene mine noen hundre mil lenger vest.

Nøtt 23:
La P være et polynom slik at [tex]P(x^2+1) = 6x^4-x^2+5[/tex]. Finn [tex]P(x^2-1)[/tex]

[JonasBA]

Jeg gjetter følgende.

[tex]P(x^2 - 1) = 6x^4 - 25x^2 + 31[/tex]

[Charlatan]

Samme fikk jeg, jeg synes dao skulle få æren gi den siste julenøtta Det er tross alt han som satte igang dette her.

[JonasBA]

Da jeg så oppgaven var jeg ikke en gang sikker hva [tex]P(x^2 + 1)[/tex] betydde, har tidligere bare sett funksjoner med formen [tex]P(x)[/tex]. Hvordan løste du oppgaven, Jarle10? Hvordan løster man vanligvis slike oppgaven?

[Klaus Knegg]

Fikk det samme, om enn med lang løsningsmetode Hvordan gjorde du det? Spent på om det finnes noen snarveier...

[Charlatan]

Bare å omgjøre slik at du får [tex]P(x^2+1)=6(x^2+1)^2-25(x^2+1)+31[/tex], så følger det at [tex]P(x)=6x^2-25x+31[/tex]

Men dette gjelder kun for [tex]1 \leq x[/tex], siden [tex]x^2+1[/tex] aldri kan bli mindre enn 1.

[Klaus Knegg]

Hm, jeg fikk at [tex]P(x) = 6x^2 -13x+12[/tex], men derimot at [tex]P(x^2-1) = 6x^4-25x^2+31[/tex]
Gratulerer med >1000 posts, forresten

Folket trenger nøtter!

[Charlatan]

Takk , og ja du har rett, jeg blandet dem sammen litt.

Men da er det julekveld for meg, god jul alle sammen!

[Klaus Knegg]

Ha ei god jul, spis mye god mat og ha det moro! =)

[Janhaa]

Frohe Weinachten...

[daofeishi]

Kjempeflott, løsningen stemmer! Vel, da ser det ut til at vi klarer 24 nøtter. Her er klokka nå 23.49, julaften er snart over. Jammen meg klarte vi å slenge sammen en tradisjonell norsk lammelåroppskrift til jul, etter å ha trålet hele byen etter rosmarin. Det er vel fremdeles litt igjen av dagen ennå der hjemme, så igjen: GOD JUL! - Eller 圣诞快乐 (sheng dan kuai le) om du vil

Nøtt 24:
Vis at tallet [tex]\sqrt[3]{\sqrt{52} + 5} - \sqrt[3]{\sqrt{52} - 5}[/tex] er rasjonalt.

[sEirik]

Nøtt 24:
Vis at tallet [tex]\sqrt[3]{\sqrt{52} + 5} - \sqrt[3]{\sqrt{52} - 5}[/tex] er rasjonalt.

Å det var synd! 1. juledag nå...
Tipper den der kan vises ved masse bruk av konjugatsetninga.. [tex]x^2 - y^2[/tex] og [tex]x^3 - y^3[/tex].

Ok, jeg gjør første del av jobben.

[tex]R = \sqrt[3]{\sqrt{52}+5} - \sqrt[3]{\sqrt{52-5}[/tex]

[tex]x-y = (\sqrt[3] x - \sqrt[3] y) \cdot (\sqrt[3] {x^2} + \sqrt[3] {xy} + \sqrt[3] {y^2})[/tex]

Setter [tex] = \sqrt{52} + 5[/tex] og [tex]y = \sqrt{52} - 5[/tex]

[tex]10 = R \left \[ \sqrt[3] { (\sqrt{52} + 5)^2 } + \sqrt[3] { (\sqrt {52} + 5)(\sqrt {52} - 5)} + \sqrt[3] {\sqrt{52} - 5)^2 } \right \] [/tex]

[tex]10 = R \left \[ \sqrt[3] {77+10\sqrt{52}} + \sqrt[3]{27} + \sqrt[3] {77-10\sqrt{52}} \right \][/tex]

[tex]10 = R \left \[3 + \sqrt[3] {77+10\sqrt{52}} + \sqrt[3] {77-10\sqrt{52}} \right \][/tex]

Det gjenstår å vise at [tex]\sqrt[3] {77+10\sqrt{52}} + \sqrt[3] {77-10\sqrt{52}[/tex] er rasjonalt.

[mrcreosote]

Prøv å bevege deg nærmere målet da, Eirik!

Kall tallet r, da er [tex]r^3 = (\sqrt[3]{\sqrt{52}+5}-\sqrt[3]{\sqrt{52}-5})^3 = 10-3\sqrt[3]{52-5^2}=-9r+10[/tex] så r er reell og oppfyller [tex]r^3+9r-10=0[/tex]; vi observerer at 1 passer og at de 2 øvrige røttene til siste ligning ikke er reelle.

[tex](p\sqrt{Ogave}\,5)^2[/tex]
Legg 12 fyrstikker i en 3-4-5-trekant. Flytt på 3 fyrstikker og reduser arealet med en tredjedel. (Ingen bonuspoeng for å kverulere på upresis formulering.)