Trigonometrisk julekos for vgs og andre

[Janhaa]

a)
Finn ett eksakt uttrykk for:
[tex]\cos(22,5^o)\cdot \cos(45^o)\cdot \cos(67,5^o)[/tex]
uten kalkis sjølsagt


b)
Og finn ett eksakt uttrykk for:
[tex]\cos(20^o)\cdot \cos(40^o)\cdot \cos(80^o)[/tex]
uten kalkis sjølsagt

[Olorin]

a)

Vet at [tex]\cos(45)=\frac1{\sqr2}[/tex] og at [tex]\cos(135)=-\frac1{\sqr2}[/tex]

Utnytter cos(u+v) til å finne eksaktverdier for 22.5 og 67.5

[tex]\cos(45)=\frac1{\sqr2}=\cos(22.5+22.5)=\cos^2(22.5)-(\sin^2(22.5))[/tex]

[tex]\cos(22.5+22.5)=\cos^2(22.5)-(1-\cos^2(22.5))[/tex]

[tex]2\cos^2(22.5)-1=\frac1{\sqr2}[/tex]

[tex]\cos^2(22.5)=(\frac1{\sqr2}+1)\cdot\frac12[/tex]

[tex]\cos(22.5)=\sqr{\frac{1+\sqr2}{2\sqr2}[/tex]

Videre,

[tex]\cos(135)=-\frac1{\sqr2}=\cos(67.5+67.5)=2\cos^2(67.5)-1[/tex]

[tex]\cos^2(67.5)=(1-\frac1{\sqr2})\cdot\frac12[/tex]

[tex]\cos(67.5)=\sqr{\frac{\sqr2-1}{2\sqr2}}[/tex]

[tex]\cos(22.5)\cos(45)\cos(67.5)=\sqr{\frac{1+\sqr2}{2\sqr2}}\cdot\frac1{\sqr2}\cdot\sqr{\frac{\sqr2-1}{2\sqr2}}[/tex]

Kan sikkert forenkles noe.. skal se mer på det senere.

Opphøyer begge sider i andre.

For enkelhets skyld erstatter jeg v.s. med u*v*w

[tex]u^2\cdot v^2\cdot w^2=\frac{(1+\sqr2)(\sqr2-1)}{2\sqr22\sqr2\cdot2}=\frac{(\sqr2)^2-1^2}{8\cdot 2}=\frac1{16}[/tex]

[tex]uvw=\sqr{\frac1{16}}=\frac14[/tex]

[Charlatan]

Alternativ løsning:

[tex]cos(45)*cos(22.5)*cos(67.5)=\sqrt{2}/2 * cos(22.5)*sin(22.5)=\sqrt{2}/2*sin(45)/2)=\sqrt{2}/2*\sqrt{2}/4=1/4[/tex]

[Olorin]

Litt smidigere den ja, tenkte ikke så lang. Trodde du var glad i lange utgreiinger jeg jarle..

[Charlatan]

de lange tar så lang tid.

[Janhaa]

Alternativ løsning:
[tex]cos(45)*cos(22.5)*cos(67.5)=\sqrt{2}/2 * cos(22.5)*sin(22.5)=\sqrt{2}/2*sin(45)/2)=\sqrt{2}/2*\sqrt{2}/4=1/4[/tex]

snasen den Jarle...

[Olorin]

Men ettersom du snakka om julekos ville jeg dra en lengre en!

Og oppgave b) er fortsatt uløst.

God Jul gutta

[daofeishi]

Og finn ett eksakt uttrykk for:
[tex]\cos(20^o)\cdot \cos(40^o)\cdot \cos(80^o)[/tex]
uten kalkis sjølsagt

Vi benytter oss av at [tex]\cos(a) \cos(b) = \frac 1 2 (\cos(a+b) + \cos(a-b))[/tex]

[tex]\begin{align} \cos(20) \cos(40) \cos(80) &= \frac 1 2 \cos (20) \left( \cos(120) + cos(40) \right) \\ &= -\frac 1 4 \cos(20) + \frac 1 2 \cos(20) \cos (40) \left( \right) \\ &= -\frac 1 4 \cos(20) + \frac 1 4 \left( \cos(60) + \cos(20) \right) \\ &= \frac 1 8 \end{align}[/tex]

[Janhaa]

Så enkelt og greit kan det gjøres...