Funksjonallikninger biter ikke
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Akkurat som ved løsning av vanlige ligninger er man som regel bedt om å beskrive løsningsmengden nøyaktig, dvs finne alle løsninger og vise at det ikke fins flere.
Du har nesten gjort det her, men det er ei lita felle: Du har helt korrekt vist at f(x) må være -1,0,1 for alle x. Antagelsen om at funksjonen da må være konstant lik en av disse verdiene kan dog ikke gjøres; det mangler med andre ord litt på å være helt i mål. Det er imidlertid ikke mye, gjør et par smarte valg, så er du der!
Du har nesten gjort det her, men det er ei lita felle: Du har helt korrekt vist at f(x) må være -1,0,1 for alle x. Antagelsen om at funksjonen da må være konstant lik en av disse verdiene kan dog ikke gjøres; det mangler med andre ord litt på å være helt i mål. Det er imidlertid ikke mye, gjør et par smarte valg, så er du der!
[tex]f(xf(y)) = yf(x)[/tex]
La [tex]x=0,y=0[/tex].
[tex]f(0f(0)) = 0f(0)[/tex]. [tex]f(0) = 0[/tex].
Når vi lar x=1:
[tex]f(f(y)) = yf(1)[/tex]
lar y = 1:
[tex]f(xf(1)) = f(x)[/tex]
og x=y=1:
[tex]f(f(1)) = f(1)[/tex]
Da er [tex]f(1)[/tex] et fikspunkt
Og nå rekker jeg dessverre ikke mer.
La [tex]x=0,y=0[/tex].
[tex]f(0f(0)) = 0f(0)[/tex]. [tex]f(0) = 0[/tex].
Når vi lar x=1:
[tex]f(f(y)) = yf(1)[/tex]
lar y = 1:
[tex]f(xf(1)) = f(x)[/tex]
og x=y=1:
[tex]f(f(1)) = f(1)[/tex]
Da er [tex]f(1)[/tex] et fikspunkt
Og nå rekker jeg dessverre ikke mer.
Løsningsforslag følger. Jeg vet ikke om dette er den mest elegante løsningen, men den skal ihvertfall besvare spørsmålet, og karakteriserer også alle løsninger av likningen.
Vi er gitt funksjonallikningen
[tex]f : \mathbb{Z}^+ \to \mathbb{Z}^+ \qquad \qquad f(xf(y)) = yf(x)[/tex]
Lemma 1: f(1) = 1
Bevis: Vi lar x=1. Da er f(f(y)) = yf(1). Dersom f(a) = f(b), ser vi at
[tex]f(a) = f(b) \\ f(f(a)) = f(f(b)) \\ af(1) = bf(1) \\ a = b[/tex]
Dermed har vi påvist injektivitet.
Hvis vi lar y=1, følger det at
[tex]f(xf(1))=f(x) \\ xf(1) = x \\ f(1) = 1[/tex]
Lemma 2: Et hvert element a i definisjonsmengden er gjennom f tilordnet et annet element i mengden, som vi skal kalle dets "invers" a*. Dette betyr at dersom a er et element i definisjonsmengden, vil f(a) = a*, og f(a*) = a.
Bevis: Siden f(1) = 1, vi vet nå at f(f(y)) = yf(1) = y. Dette betyr at dersom f(a) = a*, er f(a*) = f(f(a)) = a, og lemmaet følger.
Lemma 3: Funksjonen f er bijektiv
Bevis: Injektivitet er bevist for lemma 1.
Dersom vi er gitt et element a i definisjonsmengden, ser vi at vi kan finne en x slik at f(x) = a:
[tex]f(x) = a \\ f(f(x) = f(a) \\ x = f(a)[/tex]
Dermed har vi påvist surjektivitet - og altså bijektivitet.
Lemma 4: f(xy) = f(x) f(y)
Bevis: Vi ser dette ved å erstatte x med f(x) i likningen:
[tex]f(f(x)f(y)) = yf(f(x))=yx[/tex]
Ved å benytte funksjonen en gang til på begge sider av likhetstegnet, får vi resultatet.
Lemma 5: Enhver funksjon [tex]g : \mathbb{Z}^+ \to \mathbb{Z}^+[/tex] som tilfredsstiller lemmaene 1 til 4, tilfredsstiller funksjonallikningen.
Bevis: Anta at g tilfredsstiller lemmaene. Vi ser da at:
[tex]g(x g(y)) = g(x) g(g(y)) = yg(x)[/tex]
Lemma 6: La b være en funksjon vi kaller en basefunksjon for f, definert slik: [tex]b : \mathbb{P} \to \mathbb{P}[/tex], og tilfredsstiller lemma 1-4. En slik funksjon må eksistere for enhver f, og definerer f fullstendig.
Bevis: La alle p[sub]i[/sub] være primtall og s[sub]i[/sub] sammensatte tall.
Vi ser at lemmaene over impliserer:
[tex]f(p) = s = p_ 1 ... p_n \\ p = f(s) = f(p_1 ... p_n) = f(p_1) ... f(p_n)[/tex]
noe som er umulig, da p er prim. Funksjonen f sender altså primtall til primtall. Gitt en funksjon f, kan vi da konstruere en basefuksjon b ved å definere b(p) = f(p).
Gitt en basefunksjon b, kan vi så finne en unik funksjon f. Gitt et tall x, primtallsfaktoriser det, slik at [tex]x = p_1 ... p_n[/tex]. Definer så [tex]f(x) = b(p_1) .... b(p_n)[/tex] Det kan verifiseres at dette impliserer lemma 1-4, og dermed altså lemma 5.
En slik basefunksjon kan f.eks. være følgende: La det (2n-1)'te og (2n)'te primtallet være hverandres inverser.
Vi kan nå finne minste mulighet for f(2008). 2008 primtallsfaktoriseres som 2[sup]3[/sup]*251. Vi har vist at dette betyr at f(2008) = f(2)[sup]3[/sup]*f(251). Dersom b(2) = 2 og b(251) = 3, får vi minste mulige løsning f(2008) = 2[sup]3[/sup]*3 = 24.
Vi er gitt funksjonallikningen
[tex]f : \mathbb{Z}^+ \to \mathbb{Z}^+ \qquad \qquad f(xf(y)) = yf(x)[/tex]
Lemma 1: f(1) = 1
Bevis: Vi lar x=1. Da er f(f(y)) = yf(1). Dersom f(a) = f(b), ser vi at
[tex]f(a) = f(b) \\ f(f(a)) = f(f(b)) \\ af(1) = bf(1) \\ a = b[/tex]
Dermed har vi påvist injektivitet.
Hvis vi lar y=1, følger det at
[tex]f(xf(1))=f(x) \\ xf(1) = x \\ f(1) = 1[/tex]
Lemma 2: Et hvert element a i definisjonsmengden er gjennom f tilordnet et annet element i mengden, som vi skal kalle dets "invers" a*. Dette betyr at dersom a er et element i definisjonsmengden, vil f(a) = a*, og f(a*) = a.
Bevis: Siden f(1) = 1, vi vet nå at f(f(y)) = yf(1) = y. Dette betyr at dersom f(a) = a*, er f(a*) = f(f(a)) = a, og lemmaet følger.
Lemma 3: Funksjonen f er bijektiv
Bevis: Injektivitet er bevist for lemma 1.
Dersom vi er gitt et element a i definisjonsmengden, ser vi at vi kan finne en x slik at f(x) = a:
[tex]f(x) = a \\ f(f(x) = f(a) \\ x = f(a)[/tex]
Dermed har vi påvist surjektivitet - og altså bijektivitet.
Lemma 4: f(xy) = f(x) f(y)
Bevis: Vi ser dette ved å erstatte x med f(x) i likningen:
[tex]f(f(x)f(y)) = yf(f(x))=yx[/tex]
Ved å benytte funksjonen en gang til på begge sider av likhetstegnet, får vi resultatet.
Lemma 5: Enhver funksjon [tex]g : \mathbb{Z}^+ \to \mathbb{Z}^+[/tex] som tilfredsstiller lemmaene 1 til 4, tilfredsstiller funksjonallikningen.
Bevis: Anta at g tilfredsstiller lemmaene. Vi ser da at:
[tex]g(x g(y)) = g(x) g(g(y)) = yg(x)[/tex]
Lemma 6: La b være en funksjon vi kaller en basefunksjon for f, definert slik: [tex]b : \mathbb{P} \to \mathbb{P}[/tex], og tilfredsstiller lemma 1-4. En slik funksjon må eksistere for enhver f, og definerer f fullstendig.
Bevis: La alle p[sub]i[/sub] være primtall og s[sub]i[/sub] sammensatte tall.
Vi ser at lemmaene over impliserer:
[tex]f(p) = s = p_ 1 ... p_n \\ p = f(s) = f(p_1 ... p_n) = f(p_1) ... f(p_n)[/tex]
noe som er umulig, da p er prim. Funksjonen f sender altså primtall til primtall. Gitt en funksjon f, kan vi da konstruere en basefuksjon b ved å definere b(p) = f(p).
Gitt en basefunksjon b, kan vi så finne en unik funksjon f. Gitt et tall x, primtallsfaktoriser det, slik at [tex]x = p_1 ... p_n[/tex]. Definer så [tex]f(x) = b(p_1) .... b(p_n)[/tex] Det kan verifiseres at dette impliserer lemma 1-4, og dermed altså lemma 5.
En slik basefunksjon kan f.eks. være følgende: La det (2n-1)'te og (2n)'te primtallet være hverandres inverser.
Vi kan nå finne minste mulighet for f(2008). 2008 primtallsfaktoriseres som 2[sup]3[/sup]*251. Vi har vist at dette betyr at f(2008) = f(2)[sup]3[/sup]*f(251). Dersom b(2) = 2 og b(251) = 3, får vi minste mulige løsning f(2008) = 2[sup]3[/sup]*3 = 24.
Trodde [tex]Z^+[/tex] betydde [tex]\{0,1,2,...\}[/tex] jegMagnus skrev:0 inngår ikke her, sEirik. Z^+
Og [tex]{\mathbb N} = \{1,2,3,...\}[/tex].Men så kan man vel også ha bøker som lar [tex]{\mathbb N} = \{0,1,2,3,...\}[/tex].
Uansett er det aldri godt å si! Med mindre det er heeeeeeelt klart! Jeg har aldri sett [tex]Z^+[/tex]-notasjonen før, så jeg tippa jo.. *bortforklare*
-
nybegynner
- Noether
- Innlegg: 37
- Registrert: 21/01-2008 17:50
Finn alle funksjoner [tex]f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}[/tex] slik at [tex]f(x+y)-f(x)-f(y)=f(xy)-f(x)f(y)[/tex].
Beklager at jeg ikke så posten din. Jo du har rett, jeg har rettet feilen nå.Karl_Erik skrev:Takktakk. Bare et lite spørsmål angående 4 b og c. Hvis vi tar 4 c for gitt, at c(x)^2 + s(x)^2 = 1, burde ikke 4 b da bli umulig, i og med at h(x) = 1, så det at h(x+y)=h(x) + h(y) hadde medført at 1=2? Eller misforstår jeg helt?
Del 1 av den var på Realisten for en stund tilbake ja, men den er jo strengt tatt over alt på nettet også. Rask google ga:Zivert skrev:Hmm, var ikke oppg 4 en "Realisten nøtt" for en stund tilbake?
http://fi.wikibooks.org/wiki/Matemaattisia_ongelmia
Litt teit at de tok med den oppgaven..