Integral

[sEirik]

Nei NÅ er det for lenge siden sist det ble posta integral her!
Kom an, hvem har noe på hjertet?

Jeg slenger bare opp et til å begynne med.

[tex]I = \int \frac{{\rm d}x}{3\sin (x) + 4\cos(x)}[/tex]

Vil ikke se noe Weierstrass-kamikaze her!!

[ingentingg]

Kan skrive om det under brøkstreken til:
[tex]5\sin (x+\alpha)[/tex]

Noen som ikke kan formelen kan prøve å finne hva [tex]\alpha[/tex] skal være

[Janhaa]

Nei NÅ er det for lenge siden sist det ble posta integral her!
Kom an, hvem har noe på hjertet?
Jeg slenger bare opp et til å begynne med.
[tex]I = \int \frac{{\rm d}x}{3\sin (x) + 4\cos(x)}[/tex]
Vil ikke se noe Weierstrass-kamikaze her!!

Hmmm...Weierstrass er det [tex]\;u=\tan({x\over 2})\;[/tex] substitusjon, tro!

Jeg har ikke tid til hele greia, men fortsetter der ingentingg slapp:

[tex]I=\int\frac{{\rm dx}}{5\sin(x+\arctan({4\over 3}))}[/tex]

setter så:

[tex]u = x + \arctan({4\over 3})[/tex]
[tex]{\rm du} = {\rm dx}[/tex]

som gir:

[tex]I={1\over 5}\int\frac{{\rm du}}{\sin(u)}[/tex]

og dette er ett bra utgangspunkt for vgs elever til å løse. Vi har hatt
tilsvarende med cos(u) noen ganger før.

[Olorin]

Jepp. fint integral det der

[Magnus]

KoMiN-slager

Bestem

[tex]\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin (nx)}{(1+2^x)\sin x}dx[/tex]

n naturlig tall.

[sEirik]

Hmm, hva med noe bittelitt enklere?

[Janhaa]

Hmm, hva med noe bittelitt enklere?

OK, her er ett litt enklere;

[tex]I\,=\,8 \int \frac{{\rm dx}}{(4x^2+1)^2}[/tex]

[Olorin]

Tar jomfruhinna mi innen trigonometrisk substitusjon og prøver meg

[tex]I=8\int\frac{\rm{d}x}{(4x^2+1)^2}[/tex]

[tex]u=2x,\,\ u^\prime=2,\,\ dx=\frac{\rm{d}u}2[/tex]

[tex]I=4\int\frac{\rm{d}u}{(u^2+1)^2}[/tex]

[tex]u=\tan(t)[/tex]

[tex]t=\arctan(u)[/tex]

[tex]\frac{\rm{d}u}{\rm{d}t}=1+\tan^2t,\,\ \rm{d}u=(1+tan^2t)\rm{\rm{d}}t[/tex]

[tex]I=4\int\frac{1+\tan^2t}{(\tan^2t+1)^2}\rm{d}t=4\int\frac{\rm{d}t}{1+\tan^2t}[/tex]

[tex]1+\tan^2t=\frac1{\cos^2t}[/tex]

[tex]I=4\int \cos^2t \rm{d}t[/tex]

Benytter meg av [tex]\cos^2t=\frac12(1+\cos(2t))[/tex]

[tex]I=2\int1+\cos(2t)\rm{d}t=2(t+\frac12\sin(2t))+C=2t+2\sin(t)\cos(t)+C[/tex]

[tex]I=2\arctan(u)+2\sin(\arctan(u))\cos(\arctan(u))+C[/tex]

[tex]\arctan(u)=\arccos(\frac1{\sqr{u^2+1}})=\arcsin(\frac{u}{\sqr{u^2+1}})[/tex]

[tex]I=2\arctan(2x)+2\cdot\frac{2x}{\sqr{4x^2+1}}\cdot\frac1{\sqr{4x^2+1}}+C[/tex]

Dermed:

[tex]I=2\arctan(2x)+\frac{4x}{4x^2+1}+C[/tex]

Liten morsom sak:
http://img264.imageshack.us/img264/4696 ... 007km6.jpg

[Janhaa]

Dette ser helt rett ut Olorin, bra.
En alternativ trigonometrisk substitusjon som også fører fram er:

[tex]x={1\over 2}\tan({\theta})[/tex]

Nå, har du noe småkos, hva anår integraler, på lager...

----------------------------------------------------------------------
PS,

håper den første gangen ikke var for hard og brutal...

[=)]

[tex]\int \sqrt{1-x^2} \;dx[/tex]

er vel fin med og uten trig sub

[Olorin]

Ser ikke helt hvordan den kan løses uten trig. sub.

[tex]I=\sqr{1-x^2}\rm{d}x[/tex]

Ganger med [tex]\sqr{1-x^2}[/tex] oppe og nede:

[tex]I=\int \frac{1-x^2}{\sqr{1-x^2}}\rm{d}x[/tex]

[tex]I=\int\frac1{\sqr{1-x^2}}\rm{d}x-\int\frac{x^2}{\sqr{1-x^2}}\rm{d}x[/tex]

Kaller venstre int for I1 og høyre for I2

[tex]I=I_1-I_2[/tex]

[tex]I_1=\int\frac{\rm{d}x}{\sqr{1-x^2}}=\arcsin(x)+C_1[/tex]

[tex]I_2=\int\frac{x^2}{\sqr{1-x^2}}\rm{d}x[/tex]

Bruker trig.sub. velger:

x=sint
t=arcsinx
dx/dt=cost -> dx=cost dt

[tex]I_2=\int\frac{\sin^2t\cos t}{\sqr{1-\sin^2t}}\rm{d}t[/tex]

[tex]I_2=\int\sin^2t\rm{d}t=\int\frac12(1-\cos(2t))\rm{d}t=\frac12t-\frac14\sin(2t)+C=[/tex]

[tex]I_2=\frac12t-\frac12\sin(t)\cos(t)+C[/tex]

[tex]\arcsin(x)=\arccos(\sqr{1-x^2})[/tex]

[tex]I_2=\frac12\arcsin(x)-\frac12x\cdot\sqr{1-x^2}+C[/tex]

[tex]I=I_1-I_2=\arcsin(x)-\frac12\arcsin(x)+\frac12x\cdot\sqr{1-x^2}+C[/tex]

[tex]I=\frac12(\arcsin(x)+x\sqr{1-x^2})+C[/tex]

[Olorin]

Fy flate trig.sub. er heftig

Neste:

[tex]\int\cos^4(x)\rm{d}x[/tex]

[Janhaa]

Fy flate trig.sub. er heftig
Neste:
[tex]\int\cos^4(x)\rm{d}x[/tex]

Reduksjonsformelen for[tex]\; \int \cos^n(x)\,{\rm dx}[/tex]
er vel juks. Men skriver integralet som:

[tex]I\,=\,\int \cos^2(x)(1-\sin^2(x)){\rm dx}[/tex]

[tex]I\,=\,\int (\cos^2(x)\,-\,\cos^2(x)\sin^2(x)){\rm dx}[/tex]

[tex]I\,=\,\int({1\over 2}+{1\over 2}\cos(2x)){\rm dx}\,-\,\int({1\over 8}-{1\over 8}\cos(4x)){\rm dx}[/tex]

[tex]I\,=\,{3\over 8}x\,+\,{1\over 4}\sin(2x)\,+\,{1\over 32}\sin(4x)\,+\,C[/tex]

[zell]

Hvordan lyder den reduksjonsformelen? Finner den ikke i Rottmann.

[Janhaa]

Hvordan lyder den reduksjonsformelen? Finner den ikke i Rottmann.

Den kan utledes, fra

[tex]I=\int \cos^n(x){\rm dx}=\int \cos^{n-1}(x)\cos(x) {\rm dx}[/tex]

sett så [tex]\;u=\cos^{n-1}(x)\;[/tex] og bruk delvis integrasjon
.
.
.
dette orker jeg ikke nå, men integralet blir:

[tex]I=\frac{\sin(x)\cos^{n-1}(x)}{n}\,+\,\frac{n-1}{n}\,\int \cos^{n-2}(x){\rm dx}[/tex]